Questão 60

FUVEST 2001

Matemática

(FUVEST - 2001 - 1a fase)

Na figura abaixo, ABCD é um tetraedro regular de lado a. Sejam E e F os pontos médios de AB , e CD respectivamente. Então, o valor de EF é:

$frac{a}{2}$

$frac{asqrt{2}}{2}$

$frac{asqrt{2}}{4}$

$frac{asqrt{3}}{2}$

$frac{asqrt{3}}{4}$

Gabarito:

$frac{asqrt{2}}{2}$

Resolução:

Temos que um tetraedro é formado por faces de triângulos equiláteros, e altura de um triângulo equilátero é:

$h=frac{lsqrt3}{2}$

Como o lado do triângulo é a, altura é:

$h=frac{asqrt3}{2}$

Podemos desenhar o seguinte esquema então:

Podemos encontrar então tamanho de EF por Pitágoras:

$h^2=overline{EF}^2+(frac{a}{2})^2\\ frac{3a^2}{4}-frac{a^2}{4}=overline{EF}^2\\ overline{EF}^2=frac{2a^2}{4}\\ overline{EF}=frac{asqrt2}{2}$

E esse é o tamanho de EF.

$oxed{Letra; B:frac{asqrt2}{2}}$

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