Questão 9

FUVEST 2001

Matemática

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questão 9)

Dado um número real a, considere o seguinte problema:

"Achar números reais $x_1,x_2,...,x_6$ , não todos nulos, que satisfaçam o sistema linear:

$(r-2)(r-3)x_{r-1}((r-1)(r-3)(r-4)(r-6)a+(-1)^{r})x_{r}+(r-3)x_{r+1}$

para $r = 1, 2,...,6$ , onde $x_{0} = x_{7}= 0$ ".

a) Escreva o sistema linear acima em forma matricial.

b) Para que valores de a o problema acima tem solução?

c) Existe, para algum valor de a, uma solução do problema com $x_{1}=1$ ? Se existir, determine tal solução.

Gabarito:

Resolução:

a) Vamos substituir os valores de r:

$\r=1\(1-2)(1-3)x_{1-1}((1-1)(1-3)(1-4)(1-6)a+(-1)^{1})x_{1}+(1-3)x_{1+1}\ =-1x_1-2x_2$

$\r=2\(2-2)(2-3)x_{2-1}((2-1)(2-3)(2-4)(2-6)a+(-1)^{2})x_{2}+(2-3)x_{2+1}\ =(-8a+1)x_1-x_2$

$\r=3\(3-2)(3-3)x_{3-1}((3-1)(3-3)(3-4)(3-6)a+(-1)^{3})x_{3}+(3-3)x_{3+1}\=-x_3$

$\r=4\(4-2)(4-3)x_{4-1}((4-1)(4-3)(4-4)(4-6)a+(-1)^{4})x_{4}+(4-3)x_{4+1}\ =2x_3+x_4+x_5$

$\r=5\(5-2)(5-3)x_{5-1}((5-1)(5-3)(5-4)(5-6)a+(-1)^{5})x_{5}+(5-3)x_{5+1}\ 6x_4+(-8a-1)x_5+2x_6$

$\r=6\(6-2)(6-3)x_{6-1}((6-1)(6-3)(6-4)(6-6)a+(-1)^{6})x_{6}+(6-3)x_{6+1}\ =12x_5+x_6$

Lembrando que todos são iguais a 0. Dessa forma, representando forma matricial:

$egin{bmatrix} -1 &-2 &0 & 0& 0 &0 \ 0 & (-8a+1)&-1 & 0& 0& 0\ 0& 0& -1 & 0 & 0 & 0\ 0&0 & 2 & 1 & 1 & 0\ 0& 0& 0 & 6 &-8a-1 & 2\ 0&0 & 0 & 0 & 12 & 1 end{bmatrix}cdot egin{bmatrix} x_1\x_2 \x_3 \x_4 \x_5 \x_6 end{bmatrix}=egin{bmatrix} 0\ 0 \0 \ 0 \ 0 \ 0 end{bmatrix}$

b) Podemos resolver o sistema agora. Temos a solução trivial onde todos os valores de x são iguais a 0, porém a questão diz que não devem ser todos nulos. Sendo assim, para que existam tais soluções, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser diferente de 0. Assim:

Escolhendo como pivô o elemento a33:

$(-1)cdotegin{bmatrix} -1 &-2 & 0& 0 &0 \ 0 & (-8a+1) & 0& 0& 0\ 0&0 & 1 & 1 & 0\ 0& 0& 6 &-8a-1 & 2\ 0&0 & 0 & 12 & 1 end{bmatrix}$

Agora escolhendo como pivo o elemento a11:

$(-1)cdot(-1)cdotegin{bmatrix} (-8a+1) & 0& 0& 0\ 0 & 1 & 1 & 0\ 0& 6 &-8a-1 & 2\ 0 & 0 & 12 & 1 end{bmatrix}$

Escolhendo novamente o elemento a11:

$(-8a+1)cdotegin{bmatrix} 1 & 1 & 0\ 6 &-8a-1 & 2\ 0 & 12 & 1 end{bmatrix}$

Calculanod o determinante da matriz agora:

$(-8a+1)cdot[1cdot(-8a-1)cdot 1-12cdot2cdot1-1cdot1cdot6]=0\ (-8a+1)(-8a-1-24-6)=0\ (-8a+1)(-8a-31)=0\\ a=frac{1}{8}; ou; -frac{31}{8}$

c) Para x1=1, teremos o seguinte sistema:

$left{egin{matrix} -1-2x_2=0\ (-8a-1)x_2-x_3=0\ -x_3=0\... \ \ \ end{matrix} ight.$

(Omiti os demais pois só astrês primeiras expressões são necessárias)

Para x1=1, teremos:

$-2x_2=1\\ x_2=frac{-1}{2}$

Substituindo na próxima equação:

$(-8a-1)cdotfrac{-1}{2}-x_3=0$

Sendo que temos que x3 é igual a 0, assim:

$(-8a-1)cdot frac{-1}{2}=0\\ a=frac{1}{8}$

Esse é o valor de a. Sendo assim, para $a=frac{1}{8}$ a solução do problema é x1=1, x2=-1/2 e x3=x4=x5=x6=0.

$oxed{Resposta:left{egin{matrix} a)egin{bmatrix} -1 &-2 &0 & 0& 0 &0 \ 0 & (-8a+1)&-1 & 0& 0& 0\ 0& 0& -1 & 0 & 0 & 0\ 0&0 & 2 & 1 & 1 & 0\ 0& 0& 0 & 6 &-8a-1 & 2\ 0&0 & 0 & 0 & 12 & 1 end{bmatrix}cdot egin{bmatrix} x_1\x_2 \x_3 \x_4 \x_5 \x_6 end{bmatrix}=egin{bmatrix} 0\ 0 \0 \ 0 \ 0 \ 0 end{bmatrix}\\ b)a=frac{1}{8}; ou; -frac{31}{8} \\ c)Para; a=frac{1}{8}; teremos; a; seguinte; resposta:\ x_1=1,x_2=-frac{1}{2},x_3=x_4=x_5=x_6=0 end{matrix} ight.}$

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