Questão 7

FUVEST 2001

Matemática

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questão 7)

Um agricultor irriga uma de suas plantações utilizando duas máquinas de irrigação. A primeira irriga uma região retangular, de base 100 m e altura 20 m, e a segunda irriga uma região compreendida entre duas circunferências de centro O, e de raios 10 m e 30 m. A posição relativa dessas duas regiões é dada na figura

onde A e B são os pontos médios das alturas do retângulo. Sabendo-se ainda que os pontos A, B e O estão alinhados e que BO = 20 , determine

a) a área da intersecção das regiões irrigadas pelas máquinas;

b) a área total irrigada.

Utilize as seguintes aproximações:

$sqrt{2}=1,41, ;;; pi =3,14 ;;; e ;;; arcsen frac{1}{3}=0,34 rad$

Gabarito:

Resolução:

Podemos fazer as seguintes relações:

Para encontrar o valor da área da intersecção podemos encontrar o valor da área do retângulo de lado FE, e subtrair pelo arco EDF, limitado pela corda FE.

Vamos encontrar o valor de x:

Temos que OC=x+20, vamos encontrar OC por Pitágoras:

$overline{OE}^2=overline{OC}^2+overline{EC}^2\ 30^2=overline{OC}^2+10^2\ 900-100=800=overline{OC}^2\ overline{OC}=sqrt{800} ightarrow 20sqrt2$

Encontrando x agora:

$x=20sqrt{2}-20\ x=20(sqrt2-1)\ x=20cdot0,41 ightarrow x=8,2$

Podemos agora encontrar a área do retângulo:
$A_1=8,2cdot 20=164$

Agora vamos atrás da área do arco. Para a área do arco, podemos encontrar a área do arco e subtrair a área do triângulo OEF. Calculando a área do triângulo:

$A_2=frac{20cdot (20+x)}{2}=frac{400+164}{2}=282$

Agora vamos encontrar a área total do arco. Precisamos do ângulo EÔF. Podemos usar o triângulo OCF. CF é 10 e OF é 30:

$sen heta=frac{10}{30}=frac{1}{3} ightarrow heta=arcsen(frac{1}{3})$

O ângulo EÔF será o dobro desse ângulo, com isso podemos encontrar a área do arco:

$\A_3=frac{picdot r^2cdot 2cdot arcsen(frac{1}{3})}{2pi}\\ A_3=900cdot 0,36=306$

Subtraindo dessa área a área A2:

$306-282=24$

Somando a área A1:

$24+164=188$

Essa é a área da intersecção.

b) A área total irrigada é igual a área do retângulo, da área circular menos a área da intersecção:

$A_T=100cdot 20+(picdot 30^2-picdot 10^2)-188\ A_T=2000+pi(900-100)-188\ A_T=2000+2512-188=4324m^2$

$oxed{Respostas:left{egin{matrix} a),188m\ b),4324m^2 end{matrix} ight.}$

Questão 7

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