Questão 6

FUVEST 2001

Matemática

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questão 6)

No plano complexo, cada ponto representa um número complexo. Nesse plano, considere o hexágono regular, com centro na origem, tendo i, a unidade imaginária, como um de seus vértices. a) Determine os vértices do hexágono. b) Determine os coeficientes de um polinômio de grau 6, cujas raízes sejam os vértices do hexágono.

Gabarito:

Resolução:

a) Temos que i é um dos vértices, usando o plano de Argand-Gauss como base para os vértices, teremos que os vértices estarão nos seguintes pontos: 30º, 90°, 150°, 210°, 270° e 330°. Com isso podemos ver os vértices:

$\A=cos(30^circ)+isen(30^circ)=frac{sqrt3}{2}+frac{1}{2}i ightarrow (frac{sqrt3}{2},frac{1}{2}i)\\ B=cos(90^circ)+isen(90^circ)=0+i ightarrow (0,i)\\ C=cos(150^circ)+isen(150^circ)=-frac{sqrt3}{2}+frac{1}{2}i ightarrow (-frac{sqrt3}{2},frac{1}{2}i)\\ D=cos(210^circ)+isen(210^circ)=-frac{sqrt3}{2}-frac{1}{2}i ightarrow (-frac{sqrt3}{2},-frac{1}{2}i)\\ E=cos(270^circ)+isen(270^circ)=0-i ightarrow (0,-i)\\ F=cos(330^circ)+isen(330^circ)=frac{sqrt3}{2}-frac{1}{2}i ightarrow (frac{sqrt3}{2},-frac{1}{2}i)$

b) Agora podemos verificar qual o polinômio qual as raízes sextas são essas. Sabemos que é um número de módulo igual a 1 e argumento igual a $pi$ . Pela lei de Moivre:

$Z=1(cospi+isenpi) ightarrow Z=-1+0=-1$

O polinômio com essas raízes é:

$P(x)=x^6+1$

Sendo assim:

$P(x)=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx+g\ a=g=1\ b=c=d=e=f=0$

$oxed{Resposta:left{egin{matrix} a)(frac{sqrt3}{2},frac{1}{2}i), (0,i),(-frac{sqrt3}{2},frac{1}{2}i),(-frac{sqrt3}{2},-frac{1}{2}i),(0,-i),(frac{sqrt3}{2},-frac{1}{2}i)\\b)a=1,b=0,c=0,d=0,e=0,f=0,g=1 end{matrix} ight.}$

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