Questão 5

FUVEST 2001

Matemática

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questão 5)

Considere dois números reais $lambda$ e $mu$ tais que $lambda eq -1 , mu eq 1,$ e $lambda mu eq 0$ a) Determine uma relação entre $lambda$ e $mu$ , para que as equações polinomiais $lambda x^{3}-mu x^{2}-x-(lambda +1)=0$ e $lambda x^{2}-x-(lambda +1)=0$ possuam uma raiz comum.

b) Nesse caso, determine a raiz comum

Gabarito:

Resolução:

a) Para encontrarmos a raiz comum, basta igualarmos as equações:

$\lambda x^3-mu x^2-x-(lambda+1)=lambda x^2-x-(lambda+1)\ lambda x^3 -x^2(mu +lambda)=0\ x^2(lambda x-(mu+lambda))=0$

Com isso podemos afirmar que x=0 ou que a expressão dentro dos parênteses é 0, calculando então:

$\lambda x-(mu+lambda)=0\ lambda x=mu+lambda\\x=frac{mu+lambda}{lambda}$

Como x=0 não convém, uma vez que lambda não pode ser igual a -1, vamos trabalhar com essa expressão para x. Substituindo x na segunda equação:

$\lambda (frac{mu+lambda}{lambda})^2-frac{mu+lambda}{lambda}-(lambda +1)=0\\ lambda(frac{mu^2+2mulambda+lambda^2}{lambda^2})-frac{mu+lambda}{lambda}-lambda-1=0\\ frac{mu^2+2mulambda+lambda^2}{lambda}-frac{mu+lambda}{lambda}-frac{lambda^2-lambda}{lambda}=0\\ frac{mu^2+2mulambda-mu-2lambda}{lambda}=0\ mu^2+2mulambda-mu-2lambda=0$

Uma vez que lambda não pode ser 0. Com isso, vamos encontrar a relação entre $lambda$ e $mu$ . Podemos melhorar a visualização dessa expressão:

$\mu^2+2mulambda-mu-2lambda=0\ mu(mu-1)+2lambda(mu-1)=0\ (mu+2lambda)(mu-1)=0$

Como $mu$ é diferente de 1, resta a primeira expressão ser igual a 0:

$mu+2lambda=0$
$mu=-2lambda$

E essa é a relação necessária para que hajam raizes comuns.

b) Substituindo esse valor na raiz comum x que encontramos:

$x=frac{mu+lambda}{lambda} ightarrow frac{-2lambda+lambda}{lambda} ightarrow frac{-lambda}{lambda}=-1$

E essa é a raiz.

$oxed{Resposta:left{egin{matrix} a); mu=-2lambda\ b); x=-1 ;, end{matrix} ight.}$

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