Questão 4

FUVEST 2001

Matemática

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questão 4)

Na figura ao lado, têm-se um cilindro circular reto, onde A e B são os centros das bases e C é um ponto da intersecção da superfície lateral com a base inferior do cilindro. Se D é o ponto do segmento $ar{BC}$ , cujas distâncias a $ar{AC}$ e $ar{AB}$ são ambas iguais a d, obtenha a razão entre o volume do cilindro e sua área total (área lateral somada com as áreas das bases), em função de d.

Gabarito:

Resolução:

A área total do cilindro pode ser escrita como:

$\A_{total}=A_{bases}+A_{lateral}\ A_{total}=2cdot picdot r^2+2cdot picdot hcdot r\ A_{total}=2cdot picdot r(h+r)$

E o seu volume é:

$\V=A_{base}cdot h\ V=picdot r^2cdot h$

A razão que queremos é:

$\frac{V}{A_{total}}=frac{picdot r^2cdot h}{2cdot picdot r(h+r)} ightarrow frac{1}{2}cdot frac{rcdot h}{h+r}$

Podemos fazer o seguinte esquema:

Agora analisamos pela semelhança de triângulos.

O triângulo ABC é semelhante ao triângulo EBD, podemos fazer então:

$frac{r}{h}=frac{d}{h-d} ightarrow r(h-d)=dh ightarrow rh-rd=dh ightarrow rh=dh+rd ightarrow frac{rh}{h+r}=d$

Opa, já vimos esse valor de d antes. Ele aparece na nossa razão entre o volume e a área total! Sendo assim:

$\frac{V}{A_{total}}=frac{1}{2}cdot frac{rcdot h}{h+r} ightarrow frac{1}{2}cdot d ightarrow frac{d}{2}$

$oxed{Resposta:frac{V}{A_{total}}=frac{d}{2}}$

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