Questão 1

FUVEST 2001

Matemática

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questão 1)

A diferença entre dois números inteiros positivos é 10. Ao multiplicar um pelo outro, um estudante cometeu um engano, tendo diminuído em 4 o algarismo das dezenas do produto. Para conferir seus cálculos, dividiu o resultado obtido pelo menor dos fatores, obtendo 39 como quociente e 22 como resto. Determine os dois números.

Gabarito:

Resolução:

Vamos chamar o número maior de x e o menor de y.

Temos que a diferença entre eles é 10:
$x-y=10$

Depois dividiu por y o resultado da multiplicação de um pelo outro, resultando em 39 com resto 22, temos então:

$xy=39cdot y+22$

Podemos escrever x como y+10, substituindo:

$\(y+10)y=39cdot y+22\ y^2+10y=39y+22$

Agora temos que lembrar que foi cometido um engano, diminuindo em 4 o valor das dezenas, sendo assim devemos substrair 4 dezenas para que fique como foi dito no enunciado:

$y^2+10y-40=39y+22$

Organizando e resolvendo a equação de segundo grau:

$\y^2-29y-62=0\ Delta=841-4(1)(-62)\ Delta=841+248=1089\\ frac{29pmsqrt{1089}}{2}left{egin{matrix} x_1=31\x_2=-2 end{matrix} ight.$

Como os números são positivos y é igual a 31. Dessa maneira:

$x=31+10 ightarrow x=41$

$oxed{Resposta: x=41; e; y=31}$

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