Questão 49
FUVEST 2001
(FUVEST - 2001 - 1a fase)
A função f(x), definida para -3 ≤ x ≤ 3, tem o seguinte gráfico:
onde as linhas ligando (-1, 0) a (0, 2) e (0, 2) a (1, 0) são segmentos de reta.
Supondo a ≤ 0, para que valores de a o gráfico do polinômio p(x) = a(x2 - 4) intercepta o gráfico de f(x) em exatamente 4 pontos distintos?
Gabarito:
Resolução:
A função p(x) = a*(x² - 4), com a diferente de 0, tem raízes 2 e -2.
Além disso, o ponto P de intersecção de p(x) com o eixo y, dado quando x = 0, é:
p(0) = a*(0² - 4) = -4a
Então P = (0; -4a)
Assim, o gráfico dela pode ser do tipo:
Podemos perceber que a função p(x) só cortará f(x) em 4 pontos de P estiver abaixo de 2. Veja um exemplo na imagem:
Sendo assim, temos que a deve ser menor que zero e que -4a deve ser menor que 2.
Assim, temos:
a < 0 (I)
e
-4a < 2, então a > -1/2 (II)
Logo, temos de (I) e (II):
-1/2 < a < 0