Questão 7207

FUVEST 1989

Matemática

(FUVEST - 1989) Os pontos A, B e C são vértices consecutivos de um hexágono regular de área igual a 6. Qual é a área do triângulo ABC?

Gabarito:

Resolução:

Temos que todo hexágono regular é formado por seis triângulos equiláteros.

E também sabemos que a área do triângulo equilátero é dada por $S=frac{l^2sqrt{3}}{4}$ .

Então podemos escrever que:

$6cdot left (frac{ l^2sqrt{3}}{4} ight )=6$

$l^2sqrt{3}=4$

$l^2=frac{4}{sqrt{3}}$ , então temos que o lado desse hexágono ao quadrado é igual a esse valor...

E também sabemos que o ângulo formado em cada vértice do hexágono é dado por:

$frac{left (n-2 ight )}{n}cdot 180$

$frac{left (6-2 ight )}{6}cdot 180$

Então o ângulo é de $120^{o}$ graus.

Ele quer a área do seguinte triângulo hachurado:

Podemos encontrar a área usando a seguinte fórmula do triângulo:

$A=frac{1}{2}ladocdot ladocdot sen(alpha )$

$A=frac{1}{2}lado^2cdot sen(120 )$

Só que temos que $l^2=frac{4}{sqrt{3}}$ e que $sen(120)=sen(60)=frac{sqrt{3}}{2}$

Então:

$A=frac{1}{2}cdot left (frac{ 4}{sqrt{3}} ight )cdot frac{sqrt{3}}{2}$

$A=1$

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