Questão 18

ESPCEX 2022

Matemática

(EsPCEx - 2022)

Dado o polinômio $p(x) = (m + 39)x + x^{3} - 36 - 14x^{2}$ e sabendo-se que 1 é uma raiz de $p(x)$ , é correto afirmar que as outras duas raízes de $p(x)$ são números

inteiros primos.

irracionais.

inteiros quadrados perfeitos.

inteiros cubos perfeitos.

inteiros múltiplos de 5.

Gabarito:

inteiros quadrados perfeitos.

Resolução:

Conforme os dados do enunciado temos que:

$p(1) = 0 Leftrightarrow (m+39)(1)+(1)^3-36-14(1) = 0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow m+39+1-36-14 = 0 Leftrightarrow m = 10$

Com isso conseguimos determinar o polinômio, sendo:

$p(x) = x^3 - 14x^2 + 49x - 36$

Dividindo esse polinômio por (x-1), obtemos:

$q(x) = x^2 - 13x + 36$

Resolvendo essa equação de segundo grau, teremos:

$x^2 - 13x + 36 = 0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow (x-9)(x-4) = 0 Leftrightarrow x = 4 ext{ ou } x = 9$

Como 4 e 9 são quadrados perfeitos, concluímos que a alternativa correta será a letra C.

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