Questão 3

Matemática

(EsPCEx - 2022)

Utilize os dados da figura abaixo para responder às questões 3 e 4.

Dados:

$overline{BL}$ é um segmento horizontal e A é o seu ponto médio.

O campo tem comprimento BL= 118m e largura MN.

Os segmentos $overline{RS}$ e $overline{MN}$ são, respectivamente, os eixos real e imaginário da hipérbole $h$ , dada pela equação:

$frac{x^{2}}{1600} - frac{y^{2}}{900} = 1$

O ponto I, usado para o pênalti, é um dos focos dessa hipérbole.

R e S são vértices (extremidades do eixo real) da hipérbole h.

A largura MN e a medida IL (distância do pênalti ao gol) são, respectivamente, iguais a

60m e 9m.

60m e 10m.

80m e 9m.

80m e 10m.

80m e 19m.

Gabarito:

60m e 9m.

Resolução:

Comparando a equação dada, com a equação reduzida da hipérbole, temos

$frac{x^2}{1600} - frac{y^2}{900} = 1 Leftrightarrow frac{x^2}{40^2} - frac{y^2}{30^2} = 1$

Dessa forma determinamos a = 40 e b = 30, com isso, usando as relações da hipérbole obtemos que:

$c^2 = a^2 + b^2 Leftrightarrow c^2 = 40^2 + 30^2 Leftrightarrow c = 50$

Relacionando os coeficientes obtidos com os segmentos na imagem, teremos:

A medida b está relacionada com o eixo y, sendo MN = 2b = 60.

A medida AL será metade do comprimento do campo, logo AL = 59. Sabemos também que AS = a e AI = c. Dessa forma, temos:

$AS + SI + IL = 59 Leftrightarrow AI + IL = 59 Leftrightarrow 50 + IL = 59 Leftrightarrow IL = 9$

Logo, o gabarito correto é a letra A.