Questão 16

ESPCEX 2022

Matemática

(EsPCEx - 2022)

Sejam $lambda$ um parâmetro real e $xi$ o sistema linear abaixo, com incógnitas $a$ , $b$ e $c$ ,

$xi = left{egin{matrix} lambda a & -b & +c &=3 \ a& +lambda b &+c &=lambda \ a& +b & +lambda c & =1 end{matrix} ight.$

É correto afirmar que

$xi$ será possível e determinado se $lambda = 0$ ou $lambda = 1$ .

$xi$ será possível e indeterminado se, e somente se, $lambda = 0$ ou $lambda = 1$ .

$xi$ será impossível se $lambda = -1$ ou $lambda = 0$ .

$xi$ será possível e indeterminado se $lambda = -1$ ou $lambda = 0$ .

$xi$ será impossível se, e somente se, $lambda = 0$ ou $lambda = 1$ .

Gabarito:

$xi$ será impossível se $lambda = -1$ ou $lambda = 0$ .

Resolução:

Calculando o determinante da matriz de coeficientes do sistema, temos:

$det (xi) = left| egin{array}{rcr} lambda & -1 & 1 \ 1 & lambda & 1\ 1 & 1 & lambda end{array} ight| = (lambda^3-1+1) - (lambda+lambda-lambda) = lambda^3 + lambda$

Igualando a zero, teremos:

$lambda^3 + lambda = 0 Leftrightarrow lambda(lambda^2 -1) = 0$

$lambda = 0$ ou $lambda = pm 1$

Para $lambda = 0$ , temos:

$xi = left{egin{matrix} -b & +c &=3 \ a &+c &= 0 \ a& +b & =1 end{matrix} ight.$

Fazendo a segunda equação, menos a terceira, obtemos $c - b = -1$ . Analisando com a primeira equação, vemos que isso é um absurdo, já que temos duas equações iguais resultando em valores diferentes, 3 e -1. Ou seja, para $lambda = 0$ o sistema é impossível.

Para $lambda = -1$ , temos:

$xi = left{egin{matrix} - a & -b & +c &=3 \ a& - b &+c &= -1 \ a& +b & -c & =1 end{matrix} ight.$

Somando a segunda e a terceira equação, obtemos que $2a = 0 Leftrightarrow a = 0$ . Substituindo, o valor de a na primeira e na segunda equação obtemos: $-b+c = 3$ e $-b+c = -1$ , o que é um absurdo, tornando o sistema impossível.

Dessa forma, analisando as alternativas vemos que a alternativa correta é a letra C.

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