Questão 15

Matemática

(EsPCEx - 2022)

Seja $M (x)$ a matriz quadrada de ordem três em função de $x$ ,

Considere $f$ a função definida pela expressão $f (x)=det M (x)$ , em que $det M (x)$ é o determinante da matriz $M (x)$ .

É correto afirmar que a equação $f (x)=- 1$

não possui solução real.

possui uma única solução real.

possui apenas duas soluções reais distintas.

possui exatamente 2022 soluções reais distintas.

possui infinitas soluções reais distintas.

Gabarito:

possui uma única solução real.

Resolução:

Seja $a = x^{2022}+2022$ , temos

$det M(x) = left| egin{array}{ccr} cos(a) & sen(a) & 2022^x \ 0 & 0 & 2022^x\ -sen(a) & cos(a) & 2022^x end{array} ight|$

Calculando por cofatores, utilizando a segunda linha, temos:

$det M(x) = -(2022^x) cdotleft| egin{array}{cc} cos(a) & sen(a) \ -sen(a) & cos(a) end{array} ight| Leftrightarrow$

$Leftrightarrow det M(x) = -(2022^x) left [cos^2(a) + sen^2(a) ight ] Leftrightarrow$

$Leftrightarrow det M(x) = -(2022^x)cdot[1] Leftrightarrow$

$Leftrightarrow det M(x) = -2022^x$

Sendo $f(x) = det M(x)$ , para que $f(x) = -1$ , temos:

$f(x) = -1 Leftrightarrow -2022^x = -1 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 2022^x = 1 Leftrightarrow x = 0$

Com isso concluímos que a alternativa correta será a letra B.

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