Questão 11

ESPCEX 2017

Matemática

(EsPCEx - 2017)

Resolvendo a equação $log_{3}left ( x^{2}-2x-3 ight )+ log_{frac{1}{3}}(x-1)=log_{3}(x+1)$ , obtém-se:

S = {-1}.

S = {4, 5}.

S = {6}.

S = ø.

S = {4}.

Gabarito:

S = ø.

Resolução:

A primeira coisa a se fazer é deixar todas as bases dos logs iguais:

(Observe que, se: $left(3^{-1} ight )^{x} = n ightarrow 3^{x} = n^{-1}$ ) Logo:

$log_{frac{1}{3}}left(x-1 ight ) = -log_{3}left(x-1 ight )$

$log_{3}left(x^2 -2x-3 ight ) - log_{3}left(x-1 ight ) = log_{3}left(x+1 ight )$

Pela propriedade dos quocientes:

$log_{3}frac{left(x^{2}-2x-3 ight )}{left(x-1 ight )} = log_{3}left(x+1 ight )$

$frac{left(x^{2}-2x-3 ight )}{left(x-1 ight )} = left(x+1 ight )$

$x^{2} -2x-3 = x^{2} -1$

$-2x -2 = 0$

$x = -1$

Analisando o domínio da função :

$logleft(x ight ) > 0$ ; Logo:

$x^{2} - 2x -3 >0$

$x-1 >0$

$x+1 > 0$

Sendo assim, -1 não soluciona essa equação. O conjunto solução é vazio.

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