Questão 18

ESPCEX 2017

Matemática

(EsPCEx - 2017)

Seis círculos de raio 1 cm são inseridos no paralelogramo MNPQ, de área X cm² de acordo com a figura abaixo.

Sabendo-se que os seis círculos são tangentes entre si e com os lados do paralelogramo, a área X, em cm², é

Gabarito:

Resolução:

Para calcularmos a área do paralelogramo, precisamos descobrir sua base e sua altura. Para facilitar na visualização vamos utilizar a figura a seguir:

Para calcular a altura, podemos olhar para o triângulo equilátero ABC formado pelos centros de três dessas circunferências. Logo, a altura será igual à altura do triângulo ABC, de lado 2, somada de dois raios. Como mostrado na figura acima. Temos:

$H_{p} = 2cdotfrac{sqrt{3}}{2} + 1 + 1 = sqrt{3}+2$

Agora para encontrarmos a base, vamos olhar para os triângulos QDC e FPE. Olhando primeiramente para o triângulo ABC, vemos que o segmento CA, vemos que ele é paralelo ao lado MQ e que a base CB é paralela ao lado QP, portanto temos que o ângulo MQP será 60º e o ângulo CQD 30º.

$tg(30) = frac{1}{QD} Rightarrow QD = sqrt{3}$

$tg(60) = frac{1}{FP} Rightarrow FP = frac{sqrt{3}}{3}$

Portanto, a base do nosso paralelogramo será:

$B_{p} = QD + 4cdot 1 + FP = sqrt{3} + 4 + frac{sqrt{3}}{3} = frac{12+4sqrt{3}}{3}$

Logo a área será:

$X = B_{p}cdot H_{p} =left (frac{12+4sqrt{3}}{3} ight ) cdot (sqrt{3}+2) = frac{36+20sqrt{3}}{3}$

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