Questão 7

ESPCEX 2017

Matemática

(EsPCEx - 2017)

Na figura abaixo, está representado o plano de Argand-Gauss com os afixos de 12 números complexos, identificados de A a L. Sabe-se que esses afixos dividem a circunferência em 12 partes iguais e que A = (1, 0).

O polígono regular cujos vértices são os afixos de $sqrt[4]{E}$ é

BEHK.

CFIL.

ADGJ.

BDHJ.

CEIK.

Gabarito:

BEHK.

Resolução:

O número E pode ser escrito na forma:

$E = ho left(cos heta +isen heta ight )$ ; com $ho = 1$ e $heta = frac{2pi}{3}$ .

Vamos cahamar de z, o número complexo que corresponde a $sqrt[4]{E}$

$z^{4} = E$

sendo $z^{4} = ho^{4}left(cos4 heta + isen4 heta ight )$

Pela igualdade temos que:

$ho^{4}left(cos4 heta + isen4 heta ight) = ho left(cosfrac{2pi}{3} + isenfrac{2pi}{6} ight )$

Sabemos que $ho^{4} = 1$

Trabalhando apenas nos ângulos:

$4 heta = frac{2pi}{3} + 2pi K$

$heta = frac{pi}{6} + frac{1}{2}pi K$

Para os valores de K = (0,1,2,3), temos, respectivamente, os ângulos: $frac{pi}{6}, frac{2pi}{3}, frac{7pi}{6},frac{10pi}{6}$

que correspondem ao afixos $B,E,H,K$

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