Questão 19

ESPCEX 2014

Matemática

(EsPCEx - 2014)

Uma reta t passa pelo ponto A (-3, 0) e é tangente à parábola de equação x = 3y² no ponto P.

Assinale a alternativa que apresenta uma solução correta de acordo com essas informações.

t : x - 10y + 3 = 0 e P (27, 3)

t : 2x - 15y + 6 = 0 e P (12, 2)

t : 2x - 15y + 6 = 0 e P (12, -2)

t : y = 0 e P (0,0)

t : x + 6y + 3 = 0 e P (3, -1)

Gabarito:

t : x + 6y + 3 = 0 e P (3, -1)

Resolução:

Podemos escrever a equação da reta t como:

$y-0 = m(x-(-3))$ , então

$y = m(x+3) (I)$ , onde m é o coeficiente angular da reta.

Substituímos y de (I) na equação da parábola:

$x = 3y^{2}$ , então

$x = 3 (m(x+3))^{2}$ , então

$x = 3m^{2}(x^{2} + 6x + 9)$ , então

$3m^{2}x^{2} + (18m^{2} -1)x + 27m^{2} = 0 (II)$

Como deve haver apenas UM ponto comum entre a reta t e a parábola (pois a reta é tangente), temos que o discriminante da equação (II) deve ser igual a 0. Assim, temos que:

$Delta = (18m^{2} -1)^{2} - 4 cdot 27m^{2} cdot 3m^{2} = 0$ , então

$324m^{4} - 36m^{2} +1 - 324m^{4} = 0$ , então

$36m^{2} = 1$ , então

m = +1/6

m = -1/6

Assim, a reta t pode assumir as duas equações:

$t_{1}: y = frac{1}{6}(x+3) Rightarrow x-6y + 3 = 0$

$t_{2}: y = -frac{1}{6}(x+3) Rightarrow x+6y+3=0$

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