Questão 5

ESPCEX 2014

Matemática

(EsPCEx - 2014)

O termo independente de x no desenvolvimento de é

110.

210.

310.

410.

510.

Gabarito: 210.

Resolução:

Vamos utilizar o binômio de Newton, lembrando que o termo geral é dado por:

$T_{k+1} = inom{n}{k} cdot a^{n-k} cdot b^{k}$

Para o desenvolvimento do binômio $(a+b)^{n}$

Nesse caso: $a = x^{3}, b = -frac{1}{x^{2}}, n = 10$

Para encontrar o termo independente devemos lembrar que o expoente da variável será 0. Vamos desenvolver:

$T_{k+1} = inom{10}{k} cdot (x^{3})^{10 - k} cdot (-frac{1}{x^{2}})^{k}$

$T_{k+1} = inom{10}{k} cdot (x)^{30 - 3k} cdot (-x^{-2k})$

$T_{k+1} = inom{10}{k} cdot (-x^{30 - 5k}) cdot (-1)^{k}$

O expoente de x deve ser igual a zero:

$30 - 5k = 0 Rightarrow k = 6$

Logo:

$T_{6+1} = T_{7} = inom{10}{6} = frac{10!}{6!4!}$

$frac{10!}{6!4!} = frac{10 cdot 9 cdot 8 cdot 7}{4 cdot 3 cdot 2} = frac{10 cdot 3 cdot 7}{1} = 210$

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