Questão 18

ESPCEX 2014

Matemática

(EsPCEx - 2014)

A soma de todas as soluções da equação $2cos ^3left ( x ight ) -cos^2left ( x ight ) - 2cosleft ( x ight ) + 1 = 0$ , que estão contidas no intervalo [0,2 $pi$ ], é igual a:

$2pi.$

$3pi.$

$4pi.$

$5pi.$

$6pi.$

Gabarito:

$5pi.$

Resolução:

Temos a seguinte equação:

$2cos^{3}(x)-cos^{2}(x)-2cos(x)+1=0$

Colocando os $cos^{2}(x)$ e o -1 em evidência, temos:

$cos^{2}.2cos(x)+cos^{2}(x).(-1)+(-1)2cos(x)+(-1)(-1)=0$

$cos^{2}(x).(2cos(x)-1) - 1.(2cos(x)-1) =0$

Colocando $2cox(x)$ em evidência:

$(2cos(x)-1).(cos^{2}-1)=0$

Se $cos^{2}-1= (cos(x)-1).(cos(x)-1)=0$

Então:

$(2cos(x)-1).(cos(x)-1).(cos(x)-1)=0$

A possibilidades são:

$left{egin{matrix} 2cos(x)-1=0 ightarrow cos(x)=frac{1}{2}& & \ cos(x)-1=0 ightarrow cos(x) = 1 & & \ & & cos(x)+1=0 ightarrow cos(x)=-1 end{matrix} ight.$

De acorco com o círculo trigonométrico, temos que o conjunto verdade é:

$V =({0,frac{pi }{3},pi ,frac{5pi }{3},2pi })$

Fazendo a soma pedida:

$frac{pi }{3}+pi +frac{5pi }{3} + 2pi$

Deixando todas as frações com o mesmo denominador:

$frac{pi }{3}+frac{3pi}{3} +frac{5pi }{3} + frac{6pi }{3} = frac{15pi }{3} = 5pi$

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