Questão 8

ESPCEX 2014

Matemática

(EsPCEx - 2014)

Seja $eta =frac{1}{2} . frac{log_{10}3}{log_{10}3 - log_{10}7 }$ .O conjunto solução da desigualdade $3^{cos left ( x ight )} leq left ( frac{3}{7} ight )^{eta }$ no intervalo [0,2 $pi$ ), é igual a:

$[0, frac{pi}{3})$

$[frac{pi}{3},frac{5 pi}{3}]$

$[frac{pi}{3}, 2pi]$

$[frac{pi}{3}, 2pi)$

$[frac{3pi}{2}, 2pi)$

Gabarito:

$[frac{pi}{3},frac{5 pi}{3}]$

Resolução:

$eta = frac{1}{2} cdot frac{log^{3}}{log^{3}cdot log^{7}}$ $3^{cos(x)}leq (frac{3}{7})^{eta }$

$(I)$ usar propriedade

$log; a - log; b = log; frac{a}{b}$

$eta = frac{1}{2} cdot frac{log^{3}}{log (frac{3}{7})}$

$(II)$ usar propriedade

$frac{{log_{b}}^{a}}{{log_{b}}^{c}} = log{_{c}}^{a}$

$eta = frac{1}{2}cdot log (frac{3}{7})^{3}$

$(III)$ usar propriedade

$log{_{b}}^{a^{c}} = c; log{_{b}}^{a}$

$eta = log({_{frac{3}{7}}})^{3^{frac{1}{2}}}$

$eta = log({_{frac{3}{7}}})^{sqrt{3}}$

$(IV)$ Substituir

$3^{cos(x)} leq (frac{3}{7})^{eta }$

$3^{cos(x)} leq (frac{3}{7})^{log} (frac{3}{7})^{sqrt{3}}$

$(V)$ usar a propriedade

$a; log ; a^{b} =b$

$3^{cos(x)} leq sqrt{3}$

$(VI)$ usar propriedade

$log; a^{a^{b}}=b$

$log{_{3}}^{3cosx} leq log 3^{3^{frac{1}{2}}}$

$(VII)$ usar propriedade

$log ; b: x^{n} =n: log: b^{x}$

$cos: x cdot log{_{3}}^{3} leq frac{1}{2}cdot log{_{3}}^{3}$

$cos; x leq frac{1}{2}$

Resposta : Letra B

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