Questão 9

ESPCEX 2009

Matemática

(EsPCEx - 2009)

O número de arcos no intervalo $egin{bmatrix} 0,frac{19pi}{6} end{bmatrix}$ cujo valor do cosseno é igual a $frac{1}{2}$ é

Gabarito:

Resolução:

$cos{( heta)} = frac{1}{2} ightarrow hetain [0, frac{19pi}{6}]$

Pelo ciclo trigonométrico do cosseno, temos duas situações:

$heta = frac{pi}{3} + 2kpi ext{ ou } heta = frac{5pi}{6} + 2kpi$

Logo:

$heta = frac{pi}{3} + 2kpi Leftrightarrow 0 leq frac{pi}{3} + 2kpi leq frac{19pi}{6} Leftrightarrow 0 leq frac{1}{3} + 2k leq frac{19}{6}$

$Leftrightarrow 0 leq 2+12k leq 19 Leftrightarrow -2 leq 12k leq 17 Leftrightarrow frac{-2}{12} leq k leq frac{17}{12} Leftrightarrow k in { 0,1 }$

No segundo caso:

$heta = frac{5pi}{6} + 2kpi Leftrightarrow 0 leq frac{5pi}{3} + 2kpileq frac{19pi}{6} Leftrightarrow 0 leq frac{5}{3} + 2kleq frac{19}{6}$

$Leftrightarrow 0 leq 10 + 12kleq 19 Leftrightarrow -10 leq12kleq 9 Leftrightarrow frac{-10}{12} leq k leq frac{9}{12} Leftrightarrow k in {0 }$

Logo, 3 arcos.

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