Questão 62873

EFOMM 2020

Matemática

(EFOMM - 2020) Seja uma circunferência C1, com centro em A e raio 1, e a circunferência C2 que passa por A, com centro em B e raio 2. Sabendo - se que D é o ponto médio do seguimento AB, E é um dos pontos de interseção entre C1 e C2 e F é a interseção da reta ED com a circunferência C2, o valor da área do triângulo AEF, em unidade de área é:

A

$2+frac{sqrt{15}}{8}$

B

$1+frac{sqrt{15}}{4}$

C

$frac{3sqrt{15}}{8}$

D

$frac{sqrt{15}}{4}$

E

$frac{5sqrt{15}}{8}$

Gabarito:

$frac{3sqrt{15}}{8}$

Resolução:

Desenhando o que foi dito:

Vamos montar um sistema com as equações da circunferência:

$left{egin{matrix} (x+2)^2&+&y^2&=&1 (i), \ x^2&+&y^2 &=&4 (ii) end{matrix} ight.$

Isolando a (ii):

$y^2=4-x^2$

Aplicando na (i):

$(x+2)^2 + 4-x^2 = 1$

$x^2 +4x+4+ 4-x^2 = 1$

$4x = -7$

$x = -frac{7}{4}$

Substituindo o valor nas duas equações nós vamos obter:

$y_1 = frac{sqrt{15}}{4}, y_2 =- frac{sqrt{15}}{4}$

Logo:

$E=left(-frac{7}{4}, frac{sqrt{15}}{4} ight)$

Agora vamos encontrar a equação da reta ED:

$a = frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

$a = frac{frac{sqrt{15}}{4}-0}{-frac{7}{4}+1}$

$a = frac{frac{sqrt{15}}{4}}{-frac{3}{4}}$

$a =- frac{sqrt{15}}{3}$

Agora subtituindo:

$y=ax+b$

$0 = - frac{sqrt{15}}{3}cdot (-1) + b$

$b = - frac{sqrt{15}}{3}$

Então a equação é da reta é:

$y=-frac{sqrt{15}}{3}x-frac{sqrt{15}}{3}$

Agora temos que encontrar a intersseção dessa reta com a circunferência maior:

$left{egin{matrix} -frac{sqrt{15}}{3}x&-&frac{sqrt{15}}{3} &=& y (i), \ x^2&+&y^2 &=&4 (ii) end{matrix} ight.$

Substituindo (i) em (ii):

$x^2+(-frac{sqrt{15}}{3}x-frac{sqrt{15}}{3})^2 = 4$

$x^2+(frac{sqrt{15}}{3}x+frac{sqrt{15}}{3})^2 = 4$

$x^2+frac{15}{9}x^2 + frac{30}{9}x + frac{15}{9} = 4$

$frac{24}{9}x^2 + frac{30}{9}x + frac{15}{9} = 4$

$24x^2 + 30x + 15 = 36$

$8x^2 + 10x + 5 = 12$

$8x^2 + 10x + -7 = 0$

Resolvendo vamos encontrar:

$x_1 = -frac{7}{4}, x_2 = frac{1}{2}$

O $x_1$ já conhecemos, então o ponto F tem coordenadas $x_2$ :

Encontrando o $y$ :

$x^2+y^2=4$

$left(frac{1}{2} ight)^2+y^2=4$

$left(frac{1}{4} ight)+y^2=4$

$y^2=4-frac{1}{4}$

$y^2=frac{15}{4}$

$y=frac{sqrt{15}}{2}$

Logo:

$F=left(frac{1}{2}, frac{sqrt{15}}{2} ight)$

Agora que temos todos os pontos, vamos calcular a área:

$Delta= left| egin{array}{ccc} -2 & 0 &1\ -frac{7}{4} & frac{15}{4}&1 \ frac{1}{2}&-frac{15}{2}&1 end{array} ight|$

$A = frac{|Delta|}{2} = frac{3sqrt{15}}{8}$

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