Questão 22747

EFOMM 2018

Matemática

(EFOMM - 2018)

Resolvendo o sistema , para z complexo, encontramos como solução

Gabarito:

Resolução:

Vamos escrever o complexo z em sua forma retangular: z=a+bi, substituindo essa forma na primeira equação obtemos:

$|z-2|=|z+4|\ Rightarrow |(a-2)+bi|=|(a+4)+bi|\ Rightarrow sqrt{(a-2)^2+b^2}=sqrt{(a+4)^2+b^2}\ Rightarrow (a-2)^2+b^2=(a+4)^2+b^2\ Rightarrow -4a+4=8a+16\ Rightarrow a=-1$

Agora a parte mais trabalhosa (vista as opções dadas já era esperado) é encontrar o b. Da segunda equação:

$|z-3|+|z+3|=10\ \ Rightarrow |-4+bi|+|2+bi|=10\ \ Rightarrow sqrt{16+b^2}+sqrt{4+b^2}=10\ \ Rightarrow 16+b^2+2sqrt{(16+b^2)(4+b^2)}+4+b^2=100\ \ Rightarrow sqrt{(16+b^2)(4+b^2)}=40-b^2\ \ Rightarrow 64+20b^2+b^4=1600-80b^2+b^4\ \ Rightarrow b^2=frac{1536}{10}=frac{6cdot 256}{100}\ Rightarrow b=pmfrac{16sqrt{6}}{10}=pmfrac{8sqrt{6}}{5}$

logo temos que

$z=-1pmfrac{8sqrt{6}}{5}i$

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