Questão 9

EFOMM 2010

Matemática

Seja $sqrt[4]{x cdot sqrt[3]{x}} = 13 + sqrt{217-13 cdot sqrt[3]{x}}$ tem uma solução inteira positiva x_1.O número de divisores inteiros positivos de x₁ é

10.

11.

12.

13.

14.

Gabarito:

13.

Resolução:

1) Primeiramente, observe que a expressão $sqrt[3]{x}$ se repete nos dois lados da equação. Quando isto acontece, pode ser muito bom igualar esta expressão a uma outra expressão arbitrária pra esta equação fica mais parecida com uma "equação normal" [Por "equação normal" ou "equação comum" entende-se uma equação do tipo: 2x = x + 17].

1.1) E se chamássemos $sqrt[3]{x}$ de uma outra variável, por exemplo, $y$ , ou seja, $y=sqrt[3]{x}$ ? Desta forma, $x = y^3$ .

2) Substituindo este novo valor de x na equação $sqrt[4]{x cdot sqrt[3]{x}} = 13 + sqrt{217-13 cdot sqrt[3]{x}}$ , obtemos:

$sqrt[4]{y^3cdot y}=13+sqrt{217-13cdot y}$

3) Repare que $sqrt[4]{y^3cdot y}=sqrt[4]{y^4}=y$ . Logo,

$y=13+sqrt{217-13cdot y}Rightarrow y - 13 = sqrt{217-13cdot y}$

4) Elevando os dois lados da equação ao quadrado:

$left(y - 13 ight )^2= left(sqrt{217-13cdot y} ight )^2Rightarrow y^2 -26y + 169 = 217 - 13y$

5) Daí, se obtém $y^2 -13y -48 = 0$ .

6) Fazendo o Delta de Bháskara:

$Delta = left(-13 ight )^2-4cdotleft(-48 ight )=169+192=361=left(19 ight )^2Rightarrow sqrt{Delta}=pm19$ .

7) Portanto, tem-se: $y=frac{13pmsqrt{Delta}}{2}=frac{13pm19}{2}=16,,ou,,-3$ .
8) Como $x = y^3$ , então: $x = 16^3=4096$ ou $x = left(-3 ight )^3=-27$ .

9) Do enunciado se pede um $x_1$ positivo. Logo, $x_1 = 4096$ .

10) Quantos divisores positivos tem o número 4096?

Só pensar da seguinte forma: $4096=16^3$ , porém, $16=2^4Rightarrow4096=2^{4cdot3}Rightarrow4096=2^{12}$ .
11) Desta forma, 4096 é divisível por 1, por 2 (= 2¹), 4 (= 2²), 8 (= 2³), 16 (= 2⁴), ..., 2048 (= 2¹¹) e 4096 (= 2¹²). Ou seja, 13 números. Logo, a alternativa correta é a Letra D.

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