Questão 14

AFA 2021

Matemática

(AFA - 2021 - Modelo C - Questão 30)

Considere a figura a seguir.

Nela está representada a inscrição de uma esfera num cubo que, por sua vez, está inscrito num cone equilátero, de tal forma que uma de suas faces está apoiada na base do cone e os vértices da face oposta estão na lateral do cone.
A projeção ortogonal do vértice do cone à sua base contém dois pontos de tangência da esfera com o cubo.

Se R e r são, respectivamente, as medidas do raio da base do cone e do raio da esfera, em cm, então

$frac{R}{r} = frac{3 + 2 sqrt3}{3}$

$frac{r}{R} = frac{3 sqrt2 - 2 sqrt3}{2}$

$frac{R}{r} = frac{2 sqrt6 + 3 sqrt2}{3}$

$frac{r}{R} = frac{2sqrt6 - 3sqrt2}{2}$

Gabarito:

$frac{r}{R} = frac{3 sqrt2 - 2 sqrt3}{2}$

Resolução:

Como o cone é equilátero, sua geratriz é igual ao seu diâmetro 2R, se fizermos um corte que perpassa o cone e o cubo nos pontos onde o cubo encosta no cone, teremos:

A sua projeção será um triângulo equilátero, assim a sua altura H é dada por $H=frac{Lsqrt{3}}{2}=frac{2Rsqrt{3}}{2}=Rsqrt{3}$

Pela vista ortogonal do cone podemos ver o seguinte desenho:

Como d é a diagonal do quadrado de aresta r, temos: $d=rsqrt{2}$ , essa diagonal é o valor da base do triângulo destacado em verde:

Com esses valores de d, H, R e observando que a altura do quadrilátero inscrito no triângulo é igual a 2r (diâmetro do círculo inscrito dentro dele), nós podemos aplicar semelhança de triângulos nos triângulos verde e vermelho:

$frac{h}{H}=frac{d}{R}$

$frac{Rsqrt{3}-2r}{Rsqrt{3}}=frac{rsqrt{2}}{R}$

$rsqrt{6}=Rsqrt{3}-2r$
$r(2+sqrt{6})=Rsqrt{3}$

$frac{r}{R}=frac{sqrt{3}}{(2+sqrt{6})}=frac{sqrt{3}}{(2+sqrt{6})}cdotfrac{(2-sqrt{6})}{(2-sqrt{6})}=frac{2sqrt{3}-sqrt{18}}{-2}=frac{2sqrt{3}-3sqrt{2}}{-2}$

$frac{r}{R}=frac{2sqrt{3}-3sqrt{2}}{-2}cdotfrac{-1}{-1}=frac{3sqrt{2}-2sqrt{3}}{2}$

Letra B

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