Questão 11

AFA 2021

Matemática

(AFA - 2021 - Modelo C - Questão 27)

O jogo árabe chamado Quirkat ou Al- Quirg é semelhante ao jogo de damas moderno, no qual há um tabuleiro de 25 casas (5x5).

Esse jogo foi mencionado na obra Kitab Al-Aghanni do século X. O Al-Quirg era também o nome para o jogo que atualmente é conhecido como trilha.

Certo dia, uma caixeiro viajante apresentou esse jogo a um rei que ficou encantado com ele e decidiu que iria comprá-lo. Pediu ao viajante que colocasse preço no produto.

O caixeiro disse:

"- Vossa Majestade, posso lhe vender o jogo por uma simples barganha! Basta me dar 1 grão de milho para a 1ª casa do jogo, 2 grãos de milho para a 2ª casa do jogo, 4 grãos de milho para a 3ª casa do jogo, 8 grãos de milho para a 4ª casa do jogo e assim por diante até a 25ª casa do tabuleiro!"

O rei, imediatamente, ordenou o pagamento para o caixeiro viajante em troca do jogo que tannto lhe agradou.

Levando em consideração que o peso médio de um grão de milho seja de 0,30g pode-se afirmar que

pelo pagamento referente a 13ª casa, considerando o peso médio do grão de milho, o caixeiro recebeu 1,2288kg.

até a décima casa do tabuleiro, se considerado o peso médio do grão de milho, o viajante tinha recebido um total de 307,2g.

a quantidade de grãos recebido pelo caixeiro viajante é um número terminado em 7.

a quantidade de grãos recebido pelo vijante é um número múltiplo de 2.

Gabarito:

pelo pagamento referente a 13ª casa, considerando o peso médio do grão de milho, o caixeiro recebeu 1,2288kg.

Resolução:

Perceba que ocorre uma progressão geométrica finita em relação ao pagamento dos grãos:

1ªcasa = $2^0$ grãos

2ª casa = $2^1$ grãos

3ª casa = $2^2$ grãos

4ª casa = $2^3$ grãos

$vdots$

25 casa = $2^{24}$ grãos

Com isso, podemos analisar as alternativas,

a)Verdadeiro. Pela 13ª casa, ele recebeu $2^{12}$ grãos de milho (4096 grãos). Como cada grão pesa 0,3g, ele recebeu 1228,8g = 1,2288kg por essa casa

b)Falsa. Até a 10ª casa, ele vai ter recebido:

Usando a fórmula da soma de uma PG finita:

$S=frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$

$S=frac{1(1-2^{10})}{1-2}=1023$ grãos

O que corresponde a 306,9g

c) Falsa. Ele irá receber $frac{2^0(1-2^{25})}{1-2}= 2^{25}-1$ grãos

Como $2^{25}=2^{10}cdot2^{10}cdot2^5 =1024cdot1024cdot32$ , temos que o último algarismo de $2^{25}$ será 2. Com isso, a quantidade de grãos recebido pelo caixeiro terminará em 1.

d) Falsa. Como mostrado acima, a quantidade de grãos recebida será $2^{25}-1$ que não é um número par.

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