Questão 10

AFA 2021

Matemática

(AFA - 2021 - Modelo C - Questão 26)

Sejam as curvas λ : x² + y² = r² e β: y² - x² = 4 tangentes em dois pontos distintos do plano cartesiano.

Considere S o conjunto de pontos P(x, y) tais que x² + y² ≤ r².

Se for realizada uma rotação de 90º dos pontos de S em torno de uma das assíntonas de β, então o sólido formado tem uma superfície cuja área total, em unidade de área, mede

$frac{16}{3} pi$

$8 pi$

$12 pi$

$16 pi$

Gabarito:

$16 pi$

Resolução:

Sobre a hipérbole:

β: y² - x² = 4, logo as medidas dos dois semieixos sçao iguais implicando que esta é uma hipérbole equilátera.

Desta forma, as assíntonas de β são dadas pelas equações y = ± X.

Veja o gráfico a seguir:

O sólido fica

Como o sólido é a soma de 2 1/4 de esfera, então é como se fosse metade de uma esfera.

$A_{totalI} = frac{1}{4} cdot 4 pi r^2 + frac{2 pi r^2}{2} = pi r^2 + pi r^2 = 2 pi r^2$

$A_{totalII} = A_{totalI} = 2pi r^2$

Logo, a área total é:

$A_{total} = A_{totalI} + A_{totalII} = 4 pi r^2$

Os pontos de tangência de λ e β são:

$x^2 + y^2 = r^2$

$- x^2 + y^2 = 4$

$x^2 = frac{r^2 - 4}{2}$

$2y^2 = r^2 + 4$

$y^2 = frac{r^2 + 4}{2}$

Veja a figura a seguir:

A circunferência tem que caber dentro dos limites de β desenhado acima e a única solução para isto dado que λ e β desenhado acima e a única solução para isto dado que λ e β são tangentes em só 2 pontos é que o raio de λ seja igual a 2.

r = 2

Logo, a área total é:

$A_{total} = 4 pi 2^2 = 16 pi$

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