Questão 7

AFA 2021

Matemática

(AFA - 2021 - Modelo C - Questão 23)

Considere no plano de Argando Gauss os números complexos z = x + yi, em que x e y são números reais e $sqrt {-1} = i$ , tais que

É correto afirmar que os pontos P(x,y), afixos de z, podem formar um

A

trapézio retângulo

B

trapézio isósceles.

C

pentágono regular.

D

quadrado.

Gabarito:

trapézio isósceles.

Resolução:

PRIMEIRA PARTE:

$I_{m}(z) = y$

e

$Re(z) = x$

em

$z = x+icdot y$

Logo, a segunda equação fica:

$y + (x+icdot y)^{2} + |x-icdot y|^{2} - x [x+2i^{1093}cdot y] = 12$

• $i^{1093} =;?$

lembrando que

$i^{4} = 1$

e

$i^{5} = i$

temos que 1092 é multiplo de 4, então

$i^{1093} = i^{1092}cdot i = i^{273cdot 4}cdot i =i$

Logo,

$i^{1093} = i$

• $(x+icdot y)^{2} = x^{2}-y^{2}+2cdot icdot xcdot y$

• $|x-ycdot y|^{2} = x^{2}+y^{2}$

então, a equação fica:

$y+x^{2}-y^{2}+2cdot icdot xcdot y + x^{2} + y^{2}-x^{2}-2cdot icdot xcdot y = 12$

$x^{2}+y=12$

SEGUNDA PARTE:

$|z+i| = 5 ightarrow |x+ycdot i+i| = 5 ightarrow |x+i(y+1)| = 5$

$sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}} = 5$

Elevando tudo ao quadrado:

$x^{2}+(y+1)^{2} = 25 ightarrow x^{2}+y^{2}+2y+1=25$

TERCEIRA PARTE:

então temos duas equações resultantes:

$x^{2}+y =12$

e

$x^{2}+y^{2}+2y+1=25$

essa segunda expressão fica

$x^{2}+y^{2}+2y=24=2cdot12$

mas

$x^{2}+y =12$

então

$x^{2}+y^{2}+2y=2cdot(x^{2}+y)$

$x^{2}+y^{2}=2cdot x^{2}$

$x^{2}=y^{2}$

$xpm y$

mas como

$x^{2}+y =12$

então

$y^{2}+y=12$

$Delta = 1-4cdot1cdot (-12) = 49$

$y = frac{-1pm7}{2} = -4;ou;3$

como

$xpm y$

então os seguintes pares de números (x,y) são soluções:

(-4,-4), (4,-4), (3,3) e (-3,3).

No plano Argand Gauss:

que é um trapézio isósceles.

Alternativa correta letra B.

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