Questão 5

AFA 2021

Matemática

(AFA - 2021 - Modelo C - Questão 21)

Seja D o conjunto domínio mais amplo da função real

$f(x) = sqrt{frac{(x - 4) cdot (x^2 - 25)}{-x^2 + 5x - 4}}$ e $S subset mathbb{R}$ o conjunto solução da inequação $x + 6 leq x(x + 6)$ .

O conjunto $D cap S$ é

$] - infty, - 6] cup ]1, 5] - {4}$

$] - infty, - 5] cup ]1, 4[cup]4, 5]$

$] - infty, - 6] cup [1, 4[cup[5, infty[$

$]1, 4 [ cup [5, infty [$

Gabarito:

$] - infty, - 6] cup ]1, 5] - {4}$

Resolução:

1) Fatorando f(x)

$f(x) = sqrt{frac{(x - 4) cdot (x^2 - 25)}{-x^2 + 5x - 4}} = sqrt{frac{(x-4)(x+5)(x-5)}{-(x-1)(x-4)}}$

2) Considerando $x eq 4$ (Essa informação será útil para determinar D), podemos fazer uma análise de uma função $g(x)=-frac{(x+5)(x-5)}{(x-1)}$ usando o método dos varais que irá facilitar a análise para f(x).

3) Perceba que como $f(x)=sqrt{g(x)}$ , temos que

$D = xleq -5 ; ou ; 1< xleq 5 - {4}$

PS: Lembre-se do que foi dito em 2.

4) Para $x+6leq x(x+6)$

4.1) Desenvolvendo:

$x+6 - x(x+6) leq 0$

$(1-x)(x+6) leq 0$

$(x-1)(x+6) geq 0$

4.2) Utilizando o método do varal

5) Logo, $S= {xleq 6 ; ou ; xgeq 1}$

6) Com isso, podemos encontrar o conjunto D ∩ S

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