Questão 25

AFA 2019

Matemática

(AFA - 2019)

Considere $a in mathbb{R}$ e os polinômios $P(x) = frac {a}{2}x^6 -26x^3-27$ e $A(x) = 2x^2+4x +a$ , gráficos se intersectam em um único ponto de ordenada nula. Sabendo também que, graficamente, $A(x)$ tangencia o eixo , analise as afirmativas abaixo e escreva V para verdadeira e F para falsa.

( ) O gráfico de $P(x)$ corta o eixo em dois pontos.

( ) Os afixos das raízes de $P(x)$ que possuem menor módulo formam um triângulo cujo perímetro mede $3sqrt{3}$ unidades de comprimento.

( ) A soma das raízes imaginárias de $P(x)$ é igual a −2.

A sequência correta é

V – V – V

V – F – F

F – V – F

F – V – V

Gabarito:

V – V – V

Resolução:

Do enunciado podemos retirar que a ordenada do ponto de intersecção (que é único) entre os polinômios citados é nulo, ou seja:

$Aleft(x_{intersec.} ight )=Pleft(x_{intersec.} ight )=0$ , sendo $x_{intersec.}$ uma variável a ser determinada.

É dado também que $Aleft(x ight )$ tangencia o eixo Ox, logo, podemos escrever:

$Aleft(x ight )=2x^2+4x+a=0Rightarrow x=frac{-4pmsqrt{16-8a}}{2}$ , como é falado "tangencia", então a intersecção entre $Aleft(x ight )$ e o eixo Ox é somente um ponto, logo, esta expressão de x deve ser apenas um número. Isto só é satisfeito quando $sqrt{16-8a}=0Rightarrow a=2$ .

Assim, podemos afirmar que $Aleft(x ight )$ pode ser dado por:

$Aleft(x ight )=2x^2+4x+2=2left(x^2+2x+1 ight )=2left(x+1 ight )^2$ . As raízes de $Aleft(x ight )$ são fáceis de se obter: $x=-1$ .

E $Pleft(x ight )$ pode ser dado por:

$Pleft(x ight )=x^6-26x^3-27$ .

I. Igualando $Pleft(x ight )$ a zero podemos obter os pontos de intersecção do mesmo com Ox:

$Pleft(x ight )=x^6-26x^3-27=0$ , chamando $x^3$ de $z$ , podemos reescrever:

$x^6-26x^3-27=z^2-26z-27=0$ , aplicando Bháskara, temos

$z=frac{26pmsqrt{26^2+4cdot27}}{2}Rightarrow x=sqrt[3]{frac{26pmsqrt{26^2+4cdot27}}{2}}$ . Repare que $sqrt{26^2+4cdot27}=sqrt{26^2+2cdot2cdot26+4}=sqrt{left(26+2 ight )^2}=28$ , então

$x=sqrt[3]{frac{26pm28}{2}}=sqrt[3]{13pm14}$ . Desta forma $x=sqrt[3]{27}Rightarrow x^3=27$ ou $x=sqrt[3]{-1}Rightarrow x^3=-1$ .

Conhecendo o conceito de raízes complexas:

$x^3=27Rightarrow left{egin{matrix} x_1=3\ x_2=3left(-frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i ight ) \ x_3=3left(-frac{1}{2}-frac{sqrt{3}}{2}i ight ) end{matrix} ight.$

$x^3=-1Rightarrow left{egin{matrix} x_1=-1\ x_2=left(-1 ight )cdotleft(-frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i ight ) \ x_3=left(-1 ight )cdotleft(-frac{1}{2}-frac{sqrt{3}}{2}i ight ) end{matrix} ight.$

Esta proposição é verdadeira já que os únicos valores reais são 3 e -1.

II. Os afixos de P com menor módulo são soluções da equação $x^3=-1$ . Estes formam um triângulo equilátero de lado $l$ .

A distância entre duas raízes quaisquer de $x^3=-1$ é

$l=sqrt{left(x_2-x_3 ight )^2}=sqrt{left(frac{1}{2}-frac{1}{2} ight )^2+left(frac{sqrt{3}}{2}-left(frac{-sqrt{3}}{2} ight ) ight )^2}=sqrt{3}$ .

Logo, o perímetro é $3l=3sqrt{3}$ . Esta proposição, portanto, é verdadeira.

III. Somando as raízes imaginárias de P acima obtemos -3 + 1 = -2. Portanto, esta proposição é verdadeira.

Logo, a alternativa correta é a Letra A, dado que pode ser assinalado V - V - V para as proposições dadas.

Questão 25

AFA 2019

Questões relacionadas

Questão 26

Questão 31

Questão 17

Questão 18