Questão 23

AFA 2019

Matemática

(AFA - 2019)

Considere, no plano cartesiano, a figura abaixo, em que os segmentos horizontais são paralelos ao eixo e os segmentos verticais são paralelos ao eixo

Sabe-se que:

• os comprimentos de segmentos consecutivos da poligonal, que começa na origem O e termina em ( 0,0 ) Q , formam uma progressão aritmética decrescente de razão r e primeiro termo $a_1$ , em que $(-frac{1}{15}< r< 0)$ ;

• dois comprimentos consecutivos da poligonal são sempre perpendiculares;

• $overline{OA} =a_1$ , $overline{AB} =a_2$ , $overline{BC} =a_3$ , e, assim sucessivamente, até $overline{PQ} =a_{16}$

Suponha que uma formiga parta da origem O , e ( ,0 0 ) percorra a trajetória descrita pela poligonal até chegar ao ponto Q Com base nas informações acima, analise as proposições abaixo.

I. Se 1 $a_1 = 1$ e $r = -frac {1}{16}$ , então a distância d percorrida pela formiga até chegar ao ponto Q é tal que $d = frac {17}{2}a_1$

II. Quando a formiga estiver na posição do ponto L(x,y), então x = -6r

III. Se $a_1=1$ , então de A até C, a formiga percorreráa distância d = 2 + 3r

Quanto a veracidade das proposições, tem-se

apenas uma delas é verdadeira.

apenas duas são verdadeiras.

todas são verdadeiras.

nenhuma delas é verdadeira.

Gabarito:

todas são verdadeiras.

Resolução:

Analisando por proposições:

I. Com os valores de $a_1$ e $r=frac{-1}{16}$ e sabendo que $a_{16}=a_1+15r=1+15left(frac{-1}{16} ight )=frac{1}{16}$ , então:

A soma dos 16 primeiros termos é

$S_{16}=frac{left(a_1+a_{16} ight )cdot16}{2}=frac{17}{2}$ . Como $a_1=1$ , então é verdadeiro que $d=S_{16}=frac{17}{2}cdot a_1$ .

II. É fácil ver que o caminho que a formiga deve percorrer para atingir L, partindo de O, é de $a_1$ a $a_{12}$ . Como os termos pares, $a_2$ , $a_4$ , $a_6$ , ..., só desloca a formiga no eixo y, então devemos contar apenas os deslocamentos com termos ímpares, ou seja, a posição x de L pode ser obtida por:

$a_1-a_3+a_5-a_7+a_9-a_{11}=a_1-a_1-2r+a_1+4r-a_1-6r+a_1+8r-a_1-10r$

$Rightarrow x_{L}=-2r+4r-6r+8r-10r=-6r$ . Esta proposição, portanto, é verdadeira.

III. É fácil ver que AC é igual a $a_2+a_3$ , logo $AC=a_1+r+a_1+2r=2a_1+3rRightarrow AC=2+3r$ , dado que $a_1=1$ . Logo, esta proposição é verdadeira.

Desta forma, é possível afirmar que todas três proposições são verdadeiras.

A alternativa correta é, portanto, a Letra C.

Questão 23

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