Questão 24

AFA 2019

Matemática

(AFA - 2019)

Para angariar fundos para a formatura, os alunos do 3° ano do CPCAR vendem bombons no horário do intervalo das aulas.

Inicialmente, começaram vendendo cada bombom por R$ 4,00. Assim, perceberam que vendiam, em média, 50 bombons por dia.

A partir dos conhecimentos que os alunos tinham sobre função, estimaram que para cada 5 centavos de desconto no preço de cada bombom (não podendo conceder mais que 70 descontos), seria possível vender 5 bombons a mais por dia. Considere:

• p o preço de cada bombom;

• n o número de bombons vendidos, em média, por dia;

• x ∈ IN o número de reduções de 5 centavos concedidas no preço unitário de cada bombom; e

• y a arrecadação diária com a venda dos bombons. Com base nessas informações, analise as proposições abaixo.

(02) O gráfico que expressa ) n em função de p está contido no segmento $overline {AB}$ do gráfico abaixo.

(04) A maior arrecadação diária possível com a venda dos bombons, considerando os descontos de 5 centavos, ocorre quando concederem 35 descontos de 5 centavos.

(08) Se forem concedidos 20 descontos de 5 centavos, serão vendidos mais de 100 bombons por dia.

A soma das proposições verdadeiras é igual a

Gabarito:

Resolução:

Essa questão foi adaptada para o Simulado ITA, (alternativa "e" adicionada)

Do enunciado podemos tirar que:

$p=4-0,05cdot x$
$n=50+5x$
Perceba que $y=Pcdot n$ . Logo, $y=Pcdot n=left(4-0,05x ight )left(50+5x ight )=-0,25x^2+17,5x+200$ .

Analisando as proposições:

(02) Para colocarmos $n$ em função de $p$ precisamos colocar x em função de ambas expressões. Desta forma:

$p=4-0,05cdot xRightarrow x=frac{4-p}{0,05}=frac{4-p}{frac{5}{100}}=frac{100cdotleft(4-p ight )}{5}=20cdotleft(4-p ight )$

$n=50+5xRightarrow x = frac{n-50}{5}$

Daí,

$x = frac{n-50}{5}=20cdotleft(4-p ight )Rightarrow n-50=100cdotleft(4-p ight )Rightarrow$

$Rightarrow n=50cdotleft(1+8-2p ight )=50cdotleft(9-2p ight )$ .

É fácil ver que se $p=0,5$ , $n=400$ e se $p=4$ , $n=50$ . Estes números estão de acordo com o gráfico apresentado no enunciado. Logo, esta proposição é verdadeira.

(04) Para obter a maior arrecadação é só acharmos o valor da abscissa do vértice da equação $y=-0,25x^2+17,5x+200$ , dado que esta é voltada para baixo (coeficiente que acompanha termo do segundo grau é negativo). Então:

$X_V=frac{-b}{2a}=frac{-17,5}{2cdotleft(-0,25 ight )}=frac{17,5}{0,50}=frac{frac{35}{2}}{frac{1}{2}}=35$ . Logo, esta proposição é verdadeira.

(08) Traduzindo o enunciado desta proposição para as variáveis utilizadas anteriormente nesta solução:

$x=20Rightarrow n=50+5cdot20=150$ . 150 é mais que 100 bombons por dia, logo, esta proposição é verdadeira.

Fazendo a soma das proposições corretas, temos 02 + 04 + 08 = 14.

Portanto, a alternativa correta é a Letra D.

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