Questão 20
AFA 2019
(AFA - 2019)
Considere, no plano de Argand-Gauss, os números complexos A e B , sendo , x ∈ IR e
Se no produto A ⋅B tem-se Re(A ⋅B) ≥ Im(A ⋅B), então, sobre todos os números complexos A, é correto afirmar que
seus afixos formam uma reta.
nenhum deles é imaginário puro.
o que possui menor módulo é o que tem o maior argumento principal.
existe A tal que
Gabarito:
o que possui menor módulo é o que tem o maior argumento principal.
Resolução:
Se , então
.
Se , então
.
Agora façamos a multiplicação citada no enunciado :
É informado no enunciado que , então:
Desta forma, o número complexo possui parte real ou nula ou positiva e parte imaginária igual a 2.
Analisando alternativas:
- Letra A: Como x não pode assumir valores negativos, o máximo que A pode se tornar é uma semi-reta, e não uma reta (uma semi-reta para y = 2 e x partindo de 0 até o + infinito). Esta afirmativa é falsa, portanto.
- Letra B: Como x pode assumir valor nulo, então A pode se tornar um imaginário puro,
. Logo, esta afirmativa é falsa.
- Letra C: O módulo de A é
. É fácil ver que o menor valor deste módulo é para x nulo, logo,
e
é
, para x tendendo a 0, ou seja,
é para
, logo, é o maior valor possível do argumento de A. Esta afirmativa, portanto, é verdadeira.
- Letra D: É fácil ver, das expressões obtidas acima, que A é diferente de B (Im é diferente entre si e impossível de se igualar). Logo, esta afirmativa é falsa.
A resposta correta é, portanto, a Letra C.