Questão 19

AFA 2019

Matemática

(AFA - 2019)

Sobre a inequação $frac {3x^2 +2x} {x} geq x^3$ considerando o conjunto universo $U subset mathbb{R}$ , é INCORRETO afirmar que possui conjunto solução

unitário se $U = {x epsilon mathbb{I} mathbb{R} | x>0$ e $x = 2k, k epsilon mathbb{Z_+^*}}$

vazio se $U =[2, +propto [$

com infinitas soluções se $U = {x epsilon mathbb{I} mathbb{R} | x =2k + 1, k epsilon mathbb{Z_ -}}$

com infinitas soluções se $U = {x epsilon mathbb{I} mathbb{R}^* | xleq 2}$

Gabarito:

vazio se $U =[2, +propto [$

Resolução:

O primeiro ato que devemos ter com este tipo de inequação é colocar todos os termos diferentes de zero em um lado da inequação e transformarmos toda a expressão em uma fração só, com um numerador e um denominador:

$frac {3x^2 +2x} {x} geq x^3Rightarrow frac{3x^2+2x}{x}-x^3geq0Rightarrowfrac{3x^2+2x-x^4}{x}geq0$

É fácil ver que $x$ deve ser diferente de zero, pelo denominador da inequação final acima, ou seja, $x eq0$ .

Agora vamos trabalhar com o numerador da inequação acima:

$-x^4+3x^2+2x=xcdotleft(-x^3+3x+2 ight )$

É possível ver que a expressão $-x^3+3x+2$ tem como raiz -1 (é importante nesses casos determinar raízes simples e fáceis para expressões com grau maior que dois).

Aplicando Briot-Ruffini em $-x^3+3x+2$ , sabendo que uma de suas raízes é -1, para que possamos determinar a inequação em termos das raízes da expressão:

	-1	0	3	2
-1	-1	1	2	0

O resto de Briot-Ruffini é 0 (à direita, em negrito e itálico). A expressão $-x^3+3x+2$ fica assim:

$-x^3+3x+2=left(x+1 ight )cdotleft(-x^2+x+2 ight )$ .

As raízes de $-x^2+x+2$ são obtidas por Bháskara e estas são -1 e 2. Logo, a expressão $-x^3+3x+2$ pode ser reescrita em termo de suas raízes como:

$-x^3+3x+2=-left(x+1 ight )cdotleft(x+1 ight )cdotleft(x-2 ight )$

Retornando à inequação anterior:

$frac{3x^2+2x-x^4}{x}=frac{xcdotleft(-x^3+3x+2 ight )}{x}geq0$ e sabendo que $x eq0$ , podemos reescrevê-la como:

$frac{xcdotleft(-x^3+3x+2 ight )}{x}geq0Rightarrow-x^3+3x+2=-left(x+1 ight )^2cdotleft(x-2 ight )geq0$

$-left(x+1 ight )^2cdotleft(x-2 ight )geq0left[ imes left(-1 ight ) ight ]Rightarrow left(x+1 ight )^2cdotleft(x-2 ight )leq0$

Como $left(x+1 ight )^2$ é sempre maior que zero para qualquer x real, então:

$left(x-2 ight )leq0Rightarrow xleq2$ .

A letra B afirma que é vazio se $U =[2, +propto [$ , porém, se $x=2$ , e este valor é possível dado a inequação final extraída acima, a inequação é satisfeita.
Logo, para $U =[2, +propto [$ , o conjunto solução é unitário, e não vazio.

As outras alternativas é fácil ver que se, nos conjuntos expressos nas alternativas, x puder assumir valor igual a 2 ou menor (menor que zero também, até - infinito), então todas as outras alternativas são corretas.

Portanto, a alternativa correta é a Letra B.

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