Questão 22100

AFA 2017

Física

(AFA - 2017)

Uma pequena esfera C com carga elétrica de , é guiada por um aro isolante e semicircular de raio R igual a 2,5 m, situado num plano horizontal, com extremidades A e B como indica a figura abaixo.

A esfera pode se deslocar sem atrito tendo o aro como guia. Nas extremidades A e B deste aro são fixadas duas cargas elétricas puntiformes de e respectivamente. Sendo a constante eletrostática do meio igual a na posição de equilíbrio da esfera C, a reação normal do aro sobre a esfera, em N, tem módulo igual a

Gabarito:

Resolução:

Consideremos os eixos de referência sendo tangenciais e radiais (na direção do centro).

Primeiramente, aplicando as relações de seno e cosseno no triângulo cuja hipotenusa é o diâmetro da circunferência, obtemos:

$x = 2R cosalpha$

$y = 2R sen alpha$

O próximo passo é decompormos as forças F_Ae F_Bnos eixos tangencial e radial. Observe:

Desse modo, temos o equilíbrio tanto radialmente quanto tangencialmente.

Tangencialmente:

$F_{A} senalpha = F_{B} cos alpha$

$frac{KQ_{A} cdot q}{x^{2}} cdot sen alpha = frac{KQ_{B} cdot q}{y^{2}} cdot cos alpha$

$frac{Q_{A} cdot sen alpha}{x^{2}} = frac{Q_{B} cdot cos alpha}{y^{2}}$

$frac{Q_{A} cdot sen alpha}{4R^{2} cdot cos ^{2}} = frac{Q_{B} cdot cos alpha}{4R^{2} cdot sen^{2} alpha}$

$frac{Q_{A} cdot sen alpha}{ cos ^{2}} = frac{Q_{B} cdot cos alpha}{sen^{2} alpha}$

$frac{sen ^{3} alpha}{cos ^{3} alpha} = frac{Q_{B}}{Q_{A}}$

$frac{sen ^{3} alpha}{cos ^{3} alpha} = frac{1 cdot 10^{-6}}{8 cdot 10 ^{-6}}$

$cos alpha = 2 sen alpha$

Portanto:

$sen^{2} alpha + cos ^{2} alpha = 1$

$sen^{2} alpha + 4 sen ^{2} alpha = 1$

$5 sen ^{2} alpha = 1$

$oxed {sen alpha = frac{1}{sqrt{5}} }$

Precisaremos desse resultado em breve.

Aplicando o equilíbrio na direção radial, a fim de encontrar N:

$N = F_{A} cos alpha + F_{B} sen alpha$

$N = frac{K Q_{A} cdot q}{x^{2}} cdot cos alpha+ frac{KQ_{B} cdot q}{y^{2}} cdot sen alpha$

$N = frac{K Q_{A} cdot q}{4R cos^{2} alpha} cdot cos alpha+ frac{KQ_{B} cdot q}{4R^{2} sen^{2} alpha} cdot sen alpha$

$N = frac{K Q_{A} cdot q}{4R^{2} cos alpha} + frac{KQ_{B} cdot q}{4R^{2} senalpha}$

$N = frac{K Q_{A} cdot q}{4R^{2} 2 sen alpha} + frac{KQ_{B} cdot q}{4R^{2} senalpha}$

$N = frac{Kq}{4R^{2} cdot sen alpha} (frac{Q_{A}}{2} + Q_{B})$

$N = frac{4 sqrt{5} cdot 10 ^{5} cdot 5 cdot 10^{-4}}{4cdot (2,5)^{2} cdot frac{1}{sqrt{5}}} (frac{8 cdot 10^{-6}}{2} + 1 cdot 10^{-6})$

$N = 2 Newtons$

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