Questão 15794

AFA 2016

Física

(AFA - 2016)

Dois mecanismos que giram com velocidades angulares ω₁ e ω₂ constantes são usados para lançar horizontalmente duas partículas de massas m₁ = 1 kg e m₂ = 2 kg de uma altura h = 30 m, como mostra a figura 1 abaixo

Num dado momento em que as partículas passam, simultaneamente, tangenciando o plano horizontal α, elas são desacopladas dos mecanismos de giro e, lançadas horizontalmente, seguem as trajetórias 1 e 2 (figura 1) até se encontrarem no ponto P. Os gráficos das energias cinéticas, em joule, das partículas 1 e 2 durante os movimentos de queda, até a colisão, são apresentados na figura 2 em função de (h - y), em m, onde y é a altura vertical das partículas num tempo qualquer, medida a partir do solo perfeitamente horizontal.

Desprezando qualquer forma de atrito, a razão ω₂/ω₁ é

Gabarito: 4

Resolução:

No instante do encontro, temos:

$E_{c2}=416 J$

Em relação ao gráfico,

$h-y=20 m$

$h=30 m Rightarrow y=30-20= 10 m$

$E_{c1}=2 J$ (no instante do lançamento)

$E_{c}=frac{mv^{2}}{2} Rightarrow v_{01} = sqrt{frac{2.2}{1}}$

$v_{01} = sqrt{4} = 2 m/s$

$E_{mf2} = energia mecanica final da particula 2$

$E_{mf2} =m.g.h+ 416 = 2.10.10 +416 = 200 + 416 = 616 J$

Considerando que é um sistema conservativo:

$E_{mi2}=E_{mf2}$

Sendo:

$E_{mi2}=E_{pg}+E_{c}$

Logo,

$2.10.30+frac{2.v_{02}^{2}}{2} = 616$

$600+frac{2.v_{02}^{2}}{2} = 616$

$frac{2.v_{02}^{2}}{2} = 616-600$

$v_{02}^{2} = frac{2.16}{2}$

$v_{02}^{2} = 16$

$v_{02}= sqrt{16} = 4 m/s$

Sabendo que $v=omega R$ , então no lançamento:

$v_{01}=omega_{1} R_{1}$ e $v_{02}=omega_{2} R_{2}$

$R_{1}=2R$ e $R_{2}=R$

$frac{v_{02}}{v_{01}} = frac{omega _{2}R}{omega _{1}2R}$

$frac{v_{02}}{v_{01}} = frac{omega _{2}cancel R}{omega _{1}2cancel R}$

$frac{4}{2} = frac{omega _{2}}{2omega _{1}}$

$frac{4}{cancel2} = frac{omega _{2}}{cancel2omega _{1}} Rightarrow frac{omega _{2}}{omega _{1}} = 4$

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