Questão 40099

AFA 2013

Física

(AFA - 2013) Uma esfera homogênea, rígida, de densidade $mu_{1}$ e de volume V se encontra apoiada e em equilíbrio na superfície inferior de um recipiente, como mostra a figura 1. Nesta situação a superfície inferior exerce uma força N₁ sobre a esfera.

A partir dessa condição, o recipiente vai sendo preenchido lentamente por um líquido de densidade $mu$ , de tal forma que esse líquido esteja sempre em equilíbrio hidrostático. Num determinado momento, a situação de equilíbrio do sistema, no qual a esfera apresenta metade de seu volume submerso, é mostrada na figura 2.

Quando o recipiente é totalmente preenchido pelo líquido, o sistema líquido-esfera se encontra em uma nova condição de equilíbrio com a esfera apoiada na superfície superior do recipiente (figura 3), que exerce uma força de reação normal N₂ sobre a esfera.

Nessas condições, a razão $frac{N_{2}}{N_{1}}$ é dada por

$frac{1}{2}$

$frac{3}{2}$

Gabarito:

Resolução:

Primeiro vamos analisar o primeiro caso, desenhando a situação:

Logo podemos fazer a seguinte relação, já que o sistema está em equilíbrio:

$N_1 =P$

Agora vamos analisar a segunda situação:

Nesse caso temos uma situação de equilíbrio também, com a esfera com metade do volume submerso, então podemos escrever a seguinte relação:

$\ E_1 =P Rightarrow ho _{liquido}.V_{submerso}.g = m.g Rightarrow ho _{liquido}.V_{submerso}=m (I) \ \ V_{submerso}= frac{V_{Total}}{2} (II)$

Substituindo (II) em (I) temos:

$ho _{liquido}.V_{submerso}=m Rightarrow ho _{liquido}.frac{V_{Total}} {2}=mRightarrow frac{ ho_{liquido}}{2}=frac{m}{V_{total}}$

Só que sabemos que a densidade é definida como:

$ho = frac{m}{V}$

Então podemos substituir na equação acima:

$frac{ ho_{liquido}}{2}=frac{m}{V_{total}}Rightarrow frac{ ho_{liquido}}{2} = ho_{esfera} (III)$

Agora por último vamos analisar a última situação:

$N_2 +P =ERightarrow N_2 +mg= ho_{liquido}.V_{submerso}.g$

Só que nesse caso o volume submerso é igual ao volume total, com isso temos:

$N_2 +mg= ho_{liquido}.V_{Total}.g$

e sabemos que a densidade da esfera é definida como:

$ho_{esfera}= frac{m}{V_{Total}}Rightarrow V_{Total}=frac{m}{ ho_{esfera}}$

Substituindo então temos:

$N_2 +mg= ho_{liquido}.frac{m}{ ho_{esfera}}.g$

Agora substituindo a equação (III) finalmente temos a seguinte relação:

$\ N_2 +mg= ho_{liquido}.frac{m}{frac{ ho_{liquido}}{2}}.g \ \ \ N_2 +mg= ho_{liquido}.frac{m}{frac{ ho_{liquido}}{2}}.g \ \ \ N_2 +mg=2mgRightarrow N_2=2mg-mgRightarrow N_2=mg$

Agora fazendo a razão entre as normais temos:

$frac{N_2}{N_1}= frac{mg}{mg} =1$

Questão 40099

AFA 2013

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