Questão 34

AFA 2011

Matemática

(AFA - 2011)

QUESTÃO ANULADA!!

Considere a função quadrática f: A → B de raízes $x_1 = 1$ ou $x_2 = 3$ , cujas coordenadas do vértice são iguais.
Se $f(x) geq 0, ext{ } forall x in A$ e $f$ é função crescente $forall x in [p, q]$ , então $left (q - p ight )$ é igual a

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4

QUESTÃO ANULADA!!

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Resolução:

Como $x_1 = 1$ ou $x_2 = 3$ são raízes de $f(x)$ , então c pode ser escrito como:

$f(x)=a(x-1)cdot (x-3)$

Fazendo $f(x)=0$

$a(x-1)cdot (x-3)=0$

$(ax-a)cdot (x-3)=0$

$ax^2-3ax-ax+3a=0$

$ax^2-4ax+3a=0$

De enunciado temos que as coordenas do vértice são iguais, sendo assim:

$-frac{(-4a)}{2a}=-frac{(-4a)^2-4cdot acdot 3a}{4a}$

$frac{4a}{2a}=-frac{16a^2-12a^2}{4a}$

$2=-frac{4a(4a-3a)}{4a}$

$2=-(4a-3a)$

$2=-4a+3a$

$2=-a$

$a=-2$

Sendo assim, $f(x)=-2(x-1)(x-3)$ e consequentemente o vértice da parábola será $(2,2)$ e um esboço da função seria:

Então para $f(x) geq 0$ o intervalo que a função é decrescente é $left [ 1,2 ight ]$ , então o intervalo $left [ p,q ight ]subset left [ 1,2 ight ]$ , porém somente com as informações do enunciado não se pode afirmar que $left [ p,q ight ]$ e $left [ 1,2 ight ]$ são o mesmo intervalo, nessa caso tem-se duas possibilidades, ou $left [ 1,2 ight ] =left [ p,q ight ]$ , nesse caso $q-p=2-1=1$ e a alternativa correta seria a alternativa A, o intervalo $left [ p,q ight ]$ não tem extremidades 1 e 2, nesse caso $0< q-p<1$ e não há alternativa correspondente. Com isso conclui-se que a questão tem enunciado ambiguo e por isso foi anulada.

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