Questão 13

AFA 2011

Matemática

(AFA - 2011)

Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3} e a função f: A → A tal que f(3) = 1 e f(x) = x + 1, se x ≠ 3
A soma dos valores de x para os quais (fofof)(x) = 3 é

Gabarito:

Resolução:

Devemos notar que

$left(fcirc fcirc f ight )left(x ight )=fleft(fleft(fleft(x ight ) ight ) ight )$ e como, para $x eq3$ , $fleft(x ight )=x+1$ , então, se considerarmos $x eq3$ :
$fleft(fleft(fleft(x ight ) ight ) ight )=fleft(fleft(x+1 ight ) ight )$ .
Se considerarmos $x=3$ , então
$left(fcirc fcirc f ight )left(x ight )=fleft(fleft(fleft(x ight ) ight ) ight )=fleft(fleft(1 ight ) ight )$ . Como, para este caso, $x=1 eq3$ , então $fleft(fleft(1 ight ) ight )=fleft(1+1 ight )=fleft(2 ight )=2+1=3$ . Este resultado nos dá o que a questão pede.
Desta última função, se considerarmos $x eq3$ , então $fleft(fleft(fleft(x ight ) ight ) ight )=fleft(fleft(x+1 ight ) ight )$ . Se $x+1=3Rightarrow x=2$ , então $fleft(x +1 ight )=1Rightarrow fleft(fleft(fleft(x ight ) ight ) ight )=fleft(1 ight )=1+1=2$ .
Para $x+1 eq3Rightarrow x eq2$ :
$fleft(fleft(fleft(x ight ) ight ) ight )=fleft(fleft(x+1 ight ) ight )=fleft(left(x+1 ight )+1 ight )=fleft(x+2 ight )$ .
Para $x+2=3$ , então $fleft(x+2 ight )=1$ .
Para $x+2 eq3Rightarrow x eq1$ :
$fleft(fleft(fleft(x ight ) ight ) ight )=fleft(x+2 ight )=left(x+2 ight )+1=x+3$ . Este resultado é obtível se $x eq1$ , $x eq2$ ou $x eq3$ . Como x só pode assumir os valores de A, ou seja, x = 0 ou x = 1 ou x = 2 ou x = 3, então $left(fcirc fcirc f ight )left(x ight )=fleft(fleft(fleft(x ight ) ight ) ight )=x+3$ só para x = 0, então, para este caso,
$left(fcirc fcirc f ight )left(x ight )=fleft(fleft(fleft(x ight ) ight ) ight )=3$ . Este resultado nos dá o que a questão pede.

Logo, do exposto acima, os únicos valores de x para os quais $left(fcirc fcirc f ight )left(x ight )=fleft(fleft(fleft(x ight ) ight ) ight )$ é igual a 3 é para x = 3 ou x = 0. A soma destes valores, como pedido no enunciado, é 3 + 0 = 3.

A alternativa correta é a Letra B.

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