Questão 59
AFA 2008
(AFA - 2008)
Considere um hexaedro regular S onde A, B e C são pontos médios de três de suas arestas concorrentes no mesmo vértice. Seja um plano que secciona S nos pontos A, B e C separando-o em dois sólidos S1 e S2 de volumes V1 e V2, respectivamente, onde V1 < V2.
Marque (V) verdadeiro ou (F) falso em cada afirmativa.
( ) S2 ainda poderia ser dividido em 47 sólidos de volume
igual a V1.
( ) A área total de S1 e 6(3 + ) da área total de S.
( ) Se em cada três arestas concorrentes de S forem retirados os sólidos com volumes iguais ao do sólido S1, então, o volume do sólido restante seria aproximadamente igual a 83,33% do volume de S.
Tem-se a sequência correta em
V - F - V
F - V - F
F - F - V
V - V - F
Gabarito:
V - F - V
Resolução:
Fazendo um esboço da figura apresentada no enunciado, temos:
Fazendo a secção obteremos dois sólidos.
(i) Sendo l a aresta do cubo, o tetraedro formado possui uma base que é um triângulo retângulo isósceles de catetos l/2 e altura l/2 também. Dessa forma o volume desse tetraedro será:
Portanto, o volume do sólido restante do cubo será:
Dessa forma, temos que o seu volume é 47 vezes o volume do tetraedro.
Verdadeira.
(ii) A área do tetraedro será a soma de três triângulos retângulos isósceles de catetos iguais a l/2 e um triângulo equilátero de lados iguais a . Dessa forma, temos:
Sendo a área total do cubo , vemos que a área do tetraedro corresponde a:
Portanto, a afirmativa é falsa.
Falsa.
(iii) Três arestas concorrentes do cubo, corresponde às suas quinas, dessa forma serão retirados 8 tetraedros, obtendo:
do volume do cubo.
Logo essa afirmativa também é válida.
Verdadeira