Questão 58

AFA 2008

Matemática

(AFA - 2008)

Um triângulo ABC é não isósceles. Sejam M, N e P, respectivamente, os pontos médios dos lados $overline{AB}$ , $overline{BC}$ e $overline{AC}$ desse trângulo, de forma que $overline{AN}$ = 3 cm e $overline{BP}$ = 6 cm. Se a área do triângulo ABC mede 3 $sqrt{15}$ cm², então o comprimento da outra mediana, $overline{CM}$ , em cm, é igual a

A

2

B

3

C

3 $sqrt{6}$

D

6 $sqrt{15}$

Gabarito:

3 $sqrt{6}$

Resolução:

Do diagrama e do enunciado, podemos equacionar:

$overline{AN} = sqrt{(frac{x_{B} +x_{C}}{2})^{2} + (frac{y_{B}}{2})^{2}} = 3$

$(x_{B} + x_{C})^{2} = 36 - y_{B}^{2} (I)$

Analogamente:

$overline{BP} = sqrt{(frac{x_{c}}{2} - x_{b})^{2} + y_{B}^{2} } = 6$

$(frac{x_{c}}{2} - x_{B})^{2} = 36 - y_{B}^{2} (II)$

$S = frac{x_{c} cdot y_{B}}{2} = 3 sqrt{15} (III)$

De (I) e (II), temos $(x_{B} + x_{C})^{2} = (frac{x_{C}}{2} - x_{B})^{2}$

$x_{C} ^{2} + 4x_{B} x_{C} = 0$

Tirando as raízes:

$x_{c} = 0 ou x_{c} = -4x_{B}$

De (III) temos que $x_{C} = -4x_{B}$ (IV)

Substituindo (IV) em (I):

$y_{B} = sqrt{36 - 9x_{B}^{2}} (V)$

De (IV) e (V) em (III), temos:

$-4x_{B} sqrt{36 - 9x_{B}^{2}} = 6sqrt{15}$

$4x_{B} ^{4} - 16x_{B}^{2} + 15 = 0$

Daí basta resolver essa equação quadrática e substituir.

Obter-se-à:

$x_{B1} = pm frac{sqrt{10}}{2}$

$x_{B2} = pm frac{sqrt{6}}{2}$

$y_{B1} = frac{3sqrt{6}}{2}$

$y_{B2} = frac{3sqrt{10}}{2}$

$x_{C1} = mp 2sqrt{10}$

$x_{C2} = mp 2sqrt{6}$

Portanto:

$overline{CM} = sqrt{(x_{C} - frac{x_{B}}{2})^{2} + (y_{C} - frac{y_{B}}{2})^{2}}$

$overline{CM_{1}} = sqrt{(mp 2 sqrt{10} pm frac{sqrt{10}}{4})^{2} + (frac{3sqrt{6}}{4})^{2}} = 3sqrt{6}$

$overline{CM_{2}} = sqrt{(mp 2 sqrt{6} pm frac{sqrt{6}}{4})^{2} + (frac{3sqrt{10}}{4})^{2}} = 6$

Como ABC não pode ser isósceles (nesse caso teria duas medianas iguais), o único valor possível é $3sqrt{6}$

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