Questão 48

AFA 2008

Matemática

(AFA - 2008)

As funções f: $mathbb{R} ightarrow mathbb{R}$ do 1^o grau e g: $mathbb{R} ightarrow$ [b, + $infty$ [ do 2^o grau estão representadas no gráfico abaixo.

Com base nas informações acima, é correto afirmar que

o menor valor de b que torna a função g sobrejetora é um número inteiro.

(gogof ^-1) ( $frac{5}{2}$ ) > 0.

$frac{[f(x)]^{2}}{g(x)}$ > 0 $Leftrightarrow$ {x $in mathbb{R}$ I x < 1 ou x > 4}.

f(x) - g(x) $leq$ 0 $Leftrightarrow$ {x $in mathbb{R}$ I x $leq$ 0 ou x $geq$ 6}.

Gabarito:

(gogof ^-1) ( $frac{5}{2}$ ) > 0.

Resolução:

Substiuindo os pontos $(0,1)$ e $(4,7)$ na equação $y=ax+b$ , encontramos que $f(x)=frac{3x}{2}+1$ .

Substituindo os pontos $(1,0)$ , $(4,0)$ e $(0,4)$ na equação $y=ax^2+bx+c$ , encontramos que $g(x)=x^2-5x+4$ .

A) O menor valor de $b$ que torna a função $g$ sobrejetora é o valor do $y_v$ :

$y_v=frac{4ac-b^2}{4a}=frac{16-25}{4}=-frac{9}{4}$ , que não é inteiro. → Afirmativa incorreta.

B) $f^{-1}(x)=frac{2x-2}{3}$

$f^{-1}left ( frac{5}{2} ight )=1$

$(gof^{-1})left ( frac{5}{2} ight )=1^2-5+4=0$

$(gogof^{-1})left ( frac{5}{2} ight )=0^2-0+4=4$

$(gogof^{-1})left ( frac{5}{2} ight )>0$ → Afirmativa correta.

C) Veja que em $x=0$ , a função $f$ é nula. Logo, nesse ponto: $frac{[f(x)]^2}{g(x)}=0$ .

Então já sabemos que a afirmativa é incorreta.

D) $f(x)-g(x) =frac{3x}{2}+1-x^2+5x-4=-x^2+frac{13x}{2}-3$

As raízes dessa nova função são $6$ e $frac{1}{2}$ . Logo, temos que:

$f(x)-g(x) leq 0 Leftrightarrow { x in mathbb{R}| x leq frac{1}{2} ; ou ; x geq 6 }$ → Afirmativa incorreta.

Letra B.

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