Questão 67196

AFA 2003

Matemática

(AFA - 2003) ABC é um triângulo retângulo em A e $overline{CX}$ é bissetriz do ângulo $Bwidehat{C}A$ , onde X é ponto do lado $overline{AB}$ . A medida $overline{CX}$ é 4 cm e a de BC , 24 cm. Sendo assim, a medida do lado $overline{AC}$ , em centímetros, é igual a

Gabarito:

Resolução:

Vamos fazer um esquema para facilitar o entendimento.

No triângulo ACX, temos:

$cos( heta) = frac{AC}{4} ightarrow AC = 4cdot cos( heta)$

Agora utilizando o triângulo ABC, temos:

$cos(2 heta) = frac{AC}{24} ightarrow AC = 24cdot cos(2 heta)$

Igualando as duas equações, teremos:

$4cdot cos( heta) = 24cdot cos(2 heta)$
$4cdot cos( heta) = 24cdot (2cdot cos^2 heta - 1)$
$cos( heta) = 6cdot (2cdot cos^2 heta - 1)$
$cos( heta) = 12cdot cos^2 heta - 6$
$12cdot cos^2 heta - cos( heta) - 6 = 0$

Agora podemos substituir $cos( heta) = x$ nessa última equação:

$12x^2 - x - 6 = 0$
$(4x - 3)cdot (3x + 2) = 0$
$x = frac{3}{4} ext{ e } x = -frac{2}{3}$

Como estamos trabalhando com um ângulo menor do que $90^{circ}$ , o único valor possível para $cos( heta )$ é o valor positivo, portanto $cos( heta ) =frac{3}{4}$ . Substituindo na primeira equação, temos:

$AC = 4cdot frac{3}{4} ightarrow AC = 3$

Portanto, a resposta correta é a alternativa A) AC = $3$ cm.

Questão 67196

AFA 2003

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