Questão 33714

AFA 2003

Matemática

Na figura, RST é um triângulo retângulo em S. Os arcos RnSpT, RmS e SqT são semicircunferências cujos diâmetros são, respectivamente, RT, SR e ST. A soma das áreas das figuras hachuradas está para a área do triângulo RST na razão:

1/3

1/2

3/2

Gabarito:

Resolução:

Chamemos

$RS=x$

$ST=y$

Como RT é hipotenusa do triângulo:

$RT^2=x^2+y^2$

Área do triângulo: $A_t=frac{xy}{2}$

Área das semicircunferências:

$A_{RmS}=frac{picdotleft (frac{x}{2} ight )^2}{2}$

$A_{SqT}=frac{picdotleft ( frac{y}{2} ight )^2}{2}$

$A_{RnSpT}=frac{picdotleft ( frac{RT}{2} ight )^2}{2}$

Devemos retirar da área das semicircunferências RmS e SqT a área da região não colorida, que corresponde à área da semicircunferência RnSpT menos a área do triângulo RST, logo:

$A_{hachurada}=frac{pi x^2+pi y^2}{8}-(frac{pi (x^2+y^2)}{8}-frac{xy}{2})$

Fazendo a razão dessa área com a área do triângulo, temos:

$frac{A_{hachurada}}{A_{triangulo}}=frac{pi x^2+pi y^2 -pi (x^2+y^2)+4xy}{8}cdotfrac{2}{xy}$

Logo:

$frac{A_{hachurada}}{A_{triangulo}}=1$

Questão 33714

AFA 2003

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