Questão 170

ENEM 2016

Matemática

(Enem PPL 2016) A cobertura de uma tenda de lona tem formato de uma pirâmide de base quadrada e é formada usando quatro triângulos isósceles de base y. A sustentação da cobertura é feita por uma haste de medida x. Para saber quanto de lona deve ser comprado, deve-se calcular a área da superfície da cobertura da tenda.

A área da superfície da cobertura da tenda, em função de y e x, é dada pela expressão

$2ysqrt{x^{2}+frac{y^{2}}{4}}$

$2ysqrt{x^{2}+frac{y^{2}}{2}}$

$4ysqrt{x^{2}+y^{2}}$

$4sqrt{x^{2}+frac{y^{2}}{4}}$

$4sqrt{x^{2}+frac{y^{2}}{2}}$

Gabarito:

$2ysqrt{x^{2}+frac{y^{2}}{4}}$

Resolução:

Como os triângulos são isósceles, as arestas laterais da pirâmide são congruentes, então ela é reta.

Portanto, podemos pegar o triângulo retângulo que tem vértices no centro da base, no vértice da pirâmide e no ponto médio de um dos lados da base.

Nesse triângulo, os catetos são a altura x e metade do comprimento da base y e a hipotenusa é a altura h do triângulo da face lateral.

Logo:

$h^2=x^2+(frac{y}{2})^2$

$h=sqrt{x^2+frac{y^2}{4}}$

A área da superfície será a soma da área dos 4 triângulos laterais:

$A=4frac{b*h}{2}=4frac{ysqrt{x^2+frac{y^2}{4}}}{2}=2ysqrt{x^2+frac{y^2}{4}}$

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