Questão 176
ENEM 2016
(ENEM PPL - 2016)
Os sólidos de Platão são poliedros convexos cujas faces são todas congruentes a um único polígono regular, todos os vértices têm o mesmo número de arestas incidentes e cada aresta é compartilhada por apenas duas faces. Eles são importantes, por exemplo, na classificação das formas dos cristais minerais e no desenvolvimento de diversos objetos. Como todo poliedro convexo, os sólidos de Platão respeitam a relação de Euler V - A + F = 2 em que V, A e F são os números de vértices, arestas e faces do poliedro, respectivamente.
Em um cristal, cuja forma é a de um poliedro de Platão de faces triangulares, qual é a relação entre o número de vértices e o número de faces?
2V - 4F = 4
2V - 2F = 4
2V - F = 4
2V + F = 4
2V + 5F = 4
Gabarito:
2V - F = 4
Resolução:
Observa-se que cada face tem 3 lados (face triangular).
De modo a obter o número de lados totais no poliedro inteiro, basta multiplicar o número de faces do poliedro por 3 (são 3 lados em cada face).
Mas, como se busca o número de arestas do poliedro, e no poliedro platônico cada aresta é compartilhada por 2 faces, construímos a seguinte relação:
Substituindo a relação encontrada na relação de Euler, temos:
(multiplicando por 2 e eliminando o denominador)