Questão 168

ENEM 2016

Matemática

(ENEM PPL - 2016)

Na figura estão representadas, em um plano cartesiano, duas circunferências: C1 ( de raio 3 e centro O1 ) e C2 ( de raio 1 e centro O2 ), tangentes entre si, e uma reta t tangente as duas circunferências nos pontos P e Q.

Nessas condições, a equação da reta t é:

$y = -sqrt{3}x + 3sqrt{3}$

$y = -frac{sqrt{3}}{3}x + 3sqrt{3}$

$y = -x +4$

$y = -frac{2}{3}x + 4$

$y = - frac{4}{5}x + 4$

Gabarito:

$y = -frac{sqrt{3}}{3}x + 3sqrt{3}$

Resolução:

Vamos montar a qeuação da reta utilizando o ponto $R(3+3+1+d,0)=R(7+d,0)$ e o ponto $B(0,h)$

Os triângulos em vermelho sendo semelhantes podemos aplicar a semelhança de triângulo para achar o valor de d:

$frac{3}{1}=frac{4+d}{d} ightarrow d=2$

Assim, $R(7+d,0)=R(9,0)$

Agora vamos achar o valor do angulo $alpha$ , marcado na imagem em azul:

$sen;alpha=frac{1}{2} ightarrow alpha=30^{o}$

Vamos usar esse angulo para calcular o valor de h, que será:

$Tg;30=frac{h}{3+3+1+d}$

$Tg;30=frac{h}{9}$

$frac{1}{sqrt{3}}=frac{h}{9}$

$h=frac{9}{sqrt{3}}=frac{9sqrt{3}}{sqrt{3}cdotsqrt{3}}=frac{9sqrt{3}}{3}=3sqrt{3}$

logo, $B(0;3sqrt{3})$

sabendo ambos os pontos $B(0;3sqrt{3})$ e $R(8,0)$ , podemos montar a equação da reta y=ax+b que quando x=0 , $y=b=3sqrt{3}$ , e a é dado por:

$a=frac{0-3sqrt{3}}{9-0}=-frac{sqrt{3}}{3}$

logo a equação é:

$y=-frac{sqrt{3}}{3}x+3sqrt{3}$

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