Questão 153
ENEM 2016
(ENEM PPL - 2016)
Em sua vez de jogar, um jogador precisa dar uma tacada na bola branca, de forma a acertar a bola 9 e fazê-la cair em uma das caçapas de uma mesa de bilhar. Como a bola 8 encontra-se entre a bola branca e a bola 9 esse jogador adota a estratégia de dar uma tacada na bola branca em direção a uma das laterais da mesa, de forma que, ao rebater, ela saia em uma trajetória retilínea, formando um ângulo de 90º com a trajetória da tacada, conforme ilustrado na figura.
Com essa estratégia, o jogador conseguiu encaçapar a bola 9. Considere um sistema cartesiano de eixos sobre o plano da mesa, no qual o ponto de contato da bola com a mesa define sua posição nesse sistema. As coordenadas do ponto que representa a bola 9 são (3;3), o centro da caçapa de destino tem coordenadas (6;0) e a abscissa da bola branca é 0,5 , como representados na figura.
Se a estratégia deu certo, a ordenada da posição original da bola branca era
1,3.
1,5.
2,1.
2,2.
2,5.
Gabarito:
2,5.
Resolução:
vamos encontrar a reta que passa pelos pontos (3,3) e (6,0), ou seja, reta que contém a trajetória da bola 9:
m = (3 - 0)/(3 - 6) = -1
y = -1(x - 6)
então, a reta que passa pela bola branca terá coeficiente igual à 1 (pois esta reta é perpendicular a reta que possui m = -1)
m' = 1, portanto.
Com isso temos que: y = x + k, onde k representa o coeficiente LINEAR da reta note que as retas se cruzam quando x = 2:
x + k = -1(x - 6)
2 + k = -2 + 6
k = 2 .:. y = x + 2 quando x = 0,5 ---->> y = 0,5 + 2 = 2,5
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SOLUÇÃO 2:
Observe a figura a seguir:
É uma figura baseada na geometria da mesa de sinuca da figura do enunciado da questão.
Veja que foram denominados letras nos pontos da figura.
A figura é dividida em 4 triângulos e, como se pode ver na figura acima, todos são triângulos semelhantes. Isto porque o triângulo ABC possui um ângulo reto e ângulo oposto pelo vértice com o triângulo CDE. E os outros triângulos também apresentam as mesmas características.
Mas veja que o triângulo maior no canto inferior direito possui altura igual a 3 e base igual a 3, também. Isto significa que o ângulo demarcado com dois arcos é 45º. Isto porque a tangente desse ângulo é 3/3 = 1. Se este ângulo é 45º, então o outro ângulo desse triângulo também é 45º, dado que há um ângulo reto.
Desta forma, o ângulo do vértice F no triângulo EFD é OPV com o ângulo 45º, logo, este ângulo é 45º. Isto significa que o outro ângulo do triângulo maior do meio, triângulo CDF, também é 45º. Desta forma, a altura DE é igual à base EF do triângulo DEF, portanto, DE = 1. Se DE = 1, então CE = 1 também.
Como podemos ver na figura da solução, a distância no eixo horizontal do ponto B (posição inicial da bola branca) ao ponto F é igual a 3 - 0,5 = 2,5:
BC + CE + EF = BC + 1 + 1 = 2,5 => BC = 0,5.
O triângulo ABC é semelhante ao triângulo CDE, então o ângulo do vértice C do triângulo ABC é igual a 45º e, portanto, o ângulo do vértice A desse mesmo triângulo também é 45º. Logo, se BC = 0,5 e o triângulo ABC é um triângulo reto isósceles, então o lado BA = BC = 0,5.
Desta forma, se BA = 0,5 e a ordenada do ponto B é 3, então o ponto A possui como ordenada o número 2,5, pois se faz 3 - 0,5 = 2,5.
A Letra E é correta.