Questão 18459

ENEM 2011

Matemática

(ENEM 2011) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual . A figura ilustra essa situação:

Suponha que o navegante tenha medido o ângulo e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2 000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será:

1 000 m

1 000m

2 000 /3 m

2 000 m

Gabarito:

1 000m

Resolução:

1) Interpretando o problema:

2) A menor distância do barco até o ponto fixo P será x.

3) Repare que

$an(alpha)=frac{x}{2000+y}$

4) Repare também que

$an(2 alpha)=frac{x}{y}$

5) Como $alpha=30^circ$ , temos que

$an(alpha)= an(30^circ)=frac{sqrt{3}}{3}$ e $an(2 alpha)= an(60^circ)=sqrt{3}$

6) Logo, temos o sistema:

$left{egin{matrix} frac{sqrt{3}}{3}= frac{x}{2000+y} \ sqrt{3}= frac{x}{y}end{matrix} ight.$

7) Logo, $x=ysqrt{3} ightarrow y=frac{x}{sqrt{3} } = frac{xsqrt{3}}{3 }$

8) Substituindo:

$frac{sqrt{3}}{3}= frac{x}{2000+frac{xsqrt{3}}{3 }}$

9) Desenvolvendo:

$frac{sqrt{3}}{3}= frac{x}{frac{6000+sqrt{3}x}{3}}$

$frac{sqrt{3}}{3}=:frac{xcdot ::3}{6000+sqrt{3}x}$

$sqrt{3}cdot (6000+sqrt{3}x)=3 cdot xcdot :3$

$6000sqrt{3}+3x=9x$

$x=1000sqrt{3}$

Questões relacionadas

Questão 8232

(Enem 2011) A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em países orientais. Esta figura é uma representação de uma superfície de revoluç&a...

Ver questão

Questão 10978

(ENEM - 2011) O dono de uma oficina mecânica precisa de um pistão das partes de um motor, de 68 mm de diâmetro, para o conserto de um carro. Para conseguir um, esse dono vai at&eacu...

Ver questão

Questão 10979

(ENEM - 2011) O medidor de energia elétrica de uma residência, conhecido por “relógio de luz”, é constituído de quatro pequenos relógios, cujos sen...

Ver questão

Questão 10980

(ENEM - 2011) Em 2010, um caos aéreo afetou o continente europeu, devido à quantidade de fumaça expelida por um vulcão na Islândia, o que levou ao cancelamento de in&...

Ver questão