Questão 7799

VUNESP 1985

Matemática

(VUNESP - 1985) Em cada um dos vértices de um cubo de madeira se recorta uma pirâmide AMNP, onde M, N e P são os pontos médios das arestas, como se mostra na figura. Se V é o volume do cubo, o volume do poliedro que resta ao retirar as 8 pirâmides é igual a:

Gabarito:

Resolução:

$\\ ext{Seja } v ext{ o volume de cada uma das 8 pirâmides. Assim, sabe-se que:} \\ v=frac{1}{3}cdot A_Bcdot h, ext{ em que } A_B ext{ é a área da base e } h ext{ é a altura da pirâmide.\\ Pegando a pirâmide } MNPA ext{, veja que a base pode ser considerada o triângulo retângulo } MAP ext{ e a altura sendo } AN ext{.\\ Seja ainda } a ext{ o valor da aresta do cubo. Assim, a aresta de cada pirâmide é então } frac{a}{2} ext{. Portanto: } MA=AP=AN=frac{a}{2}.\\ ext{Logo:} \\ v=frac{1}{3}cdot (frac{a}{2})^2cdotfrac{1}{2}cdotfrac{a}{2};;Rightarrow;;v=frac{a^3}{48}$

$\\ V=a^3\\ herefore;;V-8v=a^3-frac{8cdot a^3}{48}=a^3cdot(1-frac{1}{6})=frac{5}{6}cdot a^3\\ herefore;;oxed{V-8v=frac{5}{6}V}$

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